69

6. Сравнение множеств. Счетные множества. Содержание

§ 6. Сравнение множеств. Счетные множества. 62

6.1. Понятие мощности множества 62

6.2. Счётные множества 64

6.3. Несчетность множества 67

1. Понятие мощности множества

Основателем учения о множествах является немецкий математик Георг Кантор (G. Kantor, 1845-1918), профессор из Галле. Одной из великих заслуг Кантора является то, что он установил точные понятия, возникающие в задаче сравенения бесконечных множеств по величине или по объему. Эта задача является тривиальной для конечных множеств и решается сравнением количеств элементов в них. Но для бесконечных множеств задача их сравнения приводит к непростой проблеме: можно ли бесконечное количество элементов одного множества считать большим, равным или меньшим бесконечному количеству элементов другого множества? По предложению Кантора, сравнение двух множеств осуществляется взаимно однозначного соответствия между их элементами.

Говорят, что между элементами двух множеств иможно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), если:

1) каждому элементу соответствует единственный элемент

2) каждый элементами является соответствующим единственному элементу.

Определение эквивалентных (равномощных) множеств

Два множества, между элементами которых можно установить взаимно однозначное соответствие (биекцию), называются равномощными множествами, или множествами, имеющими одинаковую мощность, или эквивалентными множествами по мощности. Обозначение эквивалентных (равномощных) множеств:

Таким образом, между элементами равномощных (эквивалентных) множеств всегда существует биективное отображение. Если же такое отображение установить невозможно, то множества имеют различную мощность, при этом оказывается, что каким бы образом мы ни пытались привести в соответствие элементы обоих множеств, всегда останутся лишние элементы и притом всегда от одного и того же множества, которое имеет поэтому «большую мощность». Например, очевидно, что два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое количество элементов.

Пример (эквивалентные конечные множества)

где и — это количества элементов в конечных множествах и .

Множество, которое не является конечным, называется бесконечным и количество элементов в нем не может быть выражено никаким числом. Поэтому сравнить бесконечные множества можно только по их мощности, то есть с помощью процедуры, устанавливающей взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств.

Также очевидно, что :

1) из двух конечных множеств и , у которых, большую мощность имеет множество, содержащее большее количество элементов.

2) всякое конечное множество всегда имеет большую мощность, чем любое его собственное подмножество.

Примеры (эквивалентные бесконечные множества)

1)

т. е. множествоN всех натуральных чисел имеет такую же мощность, как и его собственная часть, состоящая только из четных чисел.

2) т. е. множествовсех целых чисел и множество всехнатуралных чисел имеют одинаковую мощность.

3)

множества и эквивалентны (имеют одинаковую мощность), так как между их элементами легко устанавливается соответствие так, как показано на рисунке 1, таким образом, множества точек на отрезках разной длины имеют одинаковую мощность (рис.36).

4

Рис. 37

), так как между элементами этих бесконечных множеств устанавливается взаимно однозначное соответствие, например, с помощью графика функции ,(рис. 37)

(рис. 2), таким образом, множество всех действительных чисел имеет одинаковую мощность с множеством точек интервала .

Рассмотренные примеры убедительно показывают, что собственная часть (собственное подмножество) бесконечного множества может иметь равную с ним мощность, то есть для бесконечных множеств не является верным утверждение «часть меньше целого».