6. Примеры построения графиков функций

1.Построить график функции

Такая функция, задаваемая явно, но несколькими формулами, называетсякусочно заданной функцией.

Решение

Чтобы построить график этой кусочно заданной функции, нужно

• построить графики известных функций ,,;

• выделить сужение каждой из этих функций на указанное множество;

• объединить сужения в общий график.

:

область задания функции .

Таким образом, график кусочно заданной функции получается компиляцией (объединением, склеиванием) «кусков» графиков известных функций.

2.Перейти от неявно заданной функцииy(x)уравнениемк явному заданию и построить график.

Решение

Решаем данное уравнение относительно y:

, где.

Получили равенство, которое каждому значению ставит в соответствие два значенияy. Можно было бы его истолковать как двузначную функцию. Но функциональная зависимость по определению однозначная, т. к. этим определением каждому значениюxставится в соответствие единственное значениеy. Поэтому нужно перейти от якобы двузначной функции к совокупности двух однозначных функций:

– графиком является верхняя ветвь параболы, – графиком является нижняя ветвь параболы.

3.Построить график функции.

Решение

По определению модулей имеем, что

Преобразуем данную функцию, раскрыв оба модуля на каждом из промежутков знакопостоянства подмодульных выражений:

	2 -1
:
:

.

Строим график получившейся кусочно-заданной функции:

		,

график функции

4.Построить график функции, заданной параметрически

Линия, описываемая этими уравнениями, называетсяциклоидой.

Решение

Построение графика любой функции, заданной параметрически, проводится поточечно с помощью таблицы соответствующих значений параметра, аргумента и функции.

t	0				2
	0		R		2R
	0		2R	R	0
Точки графика	(0; 0)

Нетрудно видеть, что эта функция является периодической с наименьшим периодом .

Известно геометрическое определение циклоиды как линии, которую описывает фиксированная точка окружности радиуса R, если окружность катится без скольжения по прямой:

фиксированная точка окружности в начальный момент времени.

5.Построить график функциив полярной системе координат.

Решение

Построение линии в полярной системе координат выполняется по точкам с помощью таблицы соответствующих друг другу значений аргумента и функции. При построении таблицы учтем, что функция является четной, поэтому.

	0				
	2a		a		0
Точка на графике	T1	T2, T3	T4, T5	T6, T7	О

Линия, описываемая уравнением, называетсякардиоидой.