3. Явно или неявно заданные функции

Если формула, связывающая аргумент x и функциюy, имеет вид

,

то переменнаяy называетсяявно заданной функцией переменной x.

Например, ,.

Если формула, связывающая аргументxи функциюу, записана в виде уравнения, то определяемая из этого уравнения переменнаяназываетсяфункцией, заданной неявно.

Пример 3 (неявно заданные функции)

1) Уравнение задает неявно функцию;

2) уравнение задает неявно функцию;

3) уравнение задает неявно две функции;

4) уравнение задает неявно бесконечное множество функций,.

Из примеров видно, что если уравнение удается решить относительноу, то осуществляется переход от неявно заданной функции к ее явному заданию. При этом часто получается многозначная функция, которую всегда можно рассматривать как совокупность однозначных функций (совокупность однозначных ветвей многозначной функции).

Например, ;

,

Однако на практике решить уравнение относительно переменнойуполучается далеко не всегда или это решение получается слишком громоздким. Например, уравнениенельзя решить относительноy. Поэтому в этих случаях приходится работать с функциями, имеющими только неявное задание.

Замечание (к неявному заданию функций)

В уравнении переменныеx и y входят равноправно, поэтому можно считать, что это уравнение задает неявно функцию или функцию.

Например, .

4. Параметрически заданные функции

Связь между аргументом и функцией может быть записана через дополнительную переменную, называемую параметром, то есть в виде системы, в которой прописывается зависимость аргумента от параметра и зависимость функции от того же параметра:

, где– это параметр,.

В этом случае функцияназываетсяфункцией, заданной параметрически.

Рис. 41

При этом сама траектория движения может описываться уравнением EMBED Equation.DSMT4 или, т. е. задавать функциюили.

Например, в механике при описании движения точки по некоторой траектории задаются абсцисса и ордината движущейся точки как функции времени t (рис. 41).

От параметрически заданной функции можно перейти к явной или неявной форме её задания, если удаётся исключить параметр t.

Пример 4 (параметрически заданные функции)

1.

Таким образом,— это естьпараметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координати, следовательно, задают две функции,:

на верхней полуокружности на нижней полуокружности

2.

Таким образом,— это естьпараметрические уравнения эллипса с полуосями a и b и с центром в начале координат, они задают две функции:

x	на верхней половине эллипса ; на нижней половине эллипса .

3.— уравнение параболы;

—	уравнение той же параболы.

Из последнего примера хорошо видно, что для одной и той же функции можно записать несколько вариантов параметрических уравнений, вводя по-разному параметр.

Выполнить исключение параметра из параметрических уравнений не всегда возможно, поэтому нужно уметь работать и с функциями, имеющими только параметрические задания.

5. График функции

Графиком функцииназывается множество точеккоординатной плоскости, координаты которых есть соответствующие друг другу значения аргумента и функции (рис. 42).

Рис. 42

Графиком функции может быть линия или несколько линий или дискретное множество точек (рис.43).

0

0

Рис. 43

График функциональной зависимости может строиться не только в системе декартовых прямоугольных координат XOY, но и в других координатных системах.

Например, в полярной системе координат функцияy = xзаписывается в виде = и имеет графикомспираль Архимеда(рис. 44).

Рис. 44

Здесь показана часть спирали при (первый завиток спирали Архимеда). В общем случае спираль Архимеда задается уравнением = aφ.

По умолчанию график функции строится в системе прямоугольных декартовых координатXOY.