85

7. Числовая функция: определение , способы задания, график Содержание

§ 7. Числовая функция: определение , способы задания, график 70

6.1. Определение числовой функции 70

7.1. Сужение функции 72

7.2. Способы задания функции 73

7.3. Явно или неявно заданные функции 73

7.4. Параметрически заданные функции 75

7.5. График функции 77

7.6. Примеры построения графиков функций 78

7.7. Упражнения для самостоятельной работы 83

Вопросы для самопроверки 85

Глоссарий 85

1. Определение числовой функции

Определение числовой функции

Переменная величина yназываетсячисловой функциейпеременной величиныx, если каждому возможному числовому значению величиныxставится в соответствие по какому-нибудь правилу или закону единственное числовое значение величиныy.

Обозначения: илиилиилиили.

где x— это независимая переменная, или аргумент;y— это зависимая переменная, или функция.

Если обозначить через

X– множество числовых значений, которые может принимать переменнаяx,

Y– множество числовых значений, которые принимает переменнаяy,

то функциональная зависимость между переменными xиyздесь задает отображение числового множестваXна числовое множествоY, при котором каждому элементу ставится в соответствие единственный элемент множестваY(рис. 40).

Рис. 40

В отличие от более общего определения функции как отображения множеств, состоящих из элементов любой природы, числовая функция задает отображение множества X, элементами которого являются числа, на множествоY, элементами которого тоже являются числа. Кроме того, далее будем считать, что множествоY — это есть множество значений функции, так что отображениеявляется сюръекцией.

МножествоXзадания функции и множествоYзначений функции для числовых функций традиционно называютобластью определения функции(ООФ)иобластью значений функции(ОЗФ).

Значение функции в точке

Если задано отображение множеств функцией , то элементы множествXиYназываются точками. Символомобозначается при этом как сама функция, так и элемент, соответствующий элементуx при этой функциональной зависимости.

Если x₀— это фиксированное значение аргументаx, то значение функции в точкеx₀обозначается следующими символами:

или   или   или   .

Например, ;

,.

1. Сужение функции

Если есть функцияи рассматривается некоторое подмножествоЕ множестваХ, то отображениеназываетсясужением функции f на множество Е.

Пример 1 (сужение функций)

1) ,— это есть сужение функции,на множество;

2) любая последовательность есть сужение функциина множество натуральных чисел; например,– это есть сужение функции,на множество.

Наряду с понятием сужения функции существует и понятие расширения функции.

Пример 2 (расширение функций)

1) ; от этой функции можно перейти к её расширению на множество:;

2) от функции можно перейти к её расширению на множество, если рассматривать её значения на множестве комплексных чисел, где возможно извлечение корня квадратного из отрицательного числа.

2. Способы задания функции

1.Аналитический способ задания функции — функция задается математической формулой, связывающей аргумент и функцию. По этой формуле для каждого возможного значения аргумента можно вычислить соответствующее значение функции. При этом нужно различать:

• явное задание функции,

• неявное задание функции,

• параметрическое задание функции.

2.Табличный способ задания функции— используется для функций, заданных на дискретном конечном множестве значений аргумента; записывается обычно в виде следующей таблицы:

x	x1	x2	…	xn
y	y1	y2	…	yn

3.Графический способ задания функции— задается множество точек координатной плоскости, координаты которых являются соответствующими друг другу значениями аргумента и функции.

4.Описательный способ задания функции– функциональная зависимость описывается словами. Например,, где— этоцелая часть x, которая определяется как наибольшее целое число, не превышающееx.