3. Подмножества

МножествоВназываютподмножествоммножестваА, если каждый элемент множестваВявляется одновременно и элементом множестваА.

Обозначения:

Множества часто изображают с помощью рисунков, которые называютсякругами Эйлера, или диаграммами Эйлера-Венна(рис. 1).

Рис. 1

С помощью символики математического анализа определение подмножества кратко можно записать так:

Основные свойства подмножеств

1. Если B  AиC  B, тоC  A(транзитивность подмножеств), рис. 2.	Рис. 2
2. Если B  AиA  B, тоA = B (рис. 3).	Рис. 3

3. Считается, что   AиA  AдлямножестваA.

4. ЕслиB  AиB  A,то множествоBназываютсобственным подмножествоммножестваA.

4. Основные операции над множествами

К основным операциям над множествами относятся объединение, пересечение, разность, дополнение, декартово произведение, разбиение множества на подмножества.

1. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из таких и только таких элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множествAилиB(рис. 4).

Рис. 4

Определение объединения множеств.

Для набора множеств операция объединения определяется так:

.

2.Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из таких и только таких элементов, которые принадлежат обоим множествамAиB(рис. 5).

Рис. 5

Определение пересечения множеств.

Для набора множеств операция пересечения определяется так:

.

3.Разностью множества А и множества В называется множество, состоящее из таких и только таких элементов, которые принадлежат множествуAи не принадлежат множествуB(рис. 6).

	Определение разности множеств;
Рис. 6	.

4. Если, то разностьназываетсядополнением к множеству B в множестве А(рис. 7).

Рис. 7

Определение дополнения к множеству

Замечание(о дополнении в универсальном множестве)

Для нескольких рассматриваемых множеств, состоящих из элементов одной природы, можно ввести так называемое универсальное множество, для которого все рассматриваемые множества являются подмножествами. Например, для числовых множеств универсальным можно считать множество действительных чисел.

Универсальное множество обычно обозначается буквой и на диаграмме Эйлера-Венна изображается прямоугольником. Дополнение к некоторому множествув универсальном множествеобозначается только штрихом (рис. 8).

, где U - универсальное множество

5.Декартово произведение множества А на множество Ви, то, то есть декартово (или прямое) произведение множестваAна множествоBсостоит из всех возможных упорядоченных пар, у которых первый элемент взят из множестваA, а второй – из множестваB.

6. Разбиение множества на подмножества

Говорят, что множество А разбито на подмножества, если выполняются следующие два условия:

то есть объединение подмножеств совпадает с множествомAи никакие два из этих подмножеств не пересекаются (рис. 9).

Рис. 9

Основные свойства операций над множествами

Являются очевидными или нетрудно доказываются следующие свойства операций над множествами.

I.Коммутативность операций(переместительное свойство):

(коммутативность объединения);

(коммутативность пересечения);

(некоммутативность разности);

(некоммутативность декартова произведения).

II.Ассоциативность операций(сочетательное свойство):

(ассоциативность объединения);

(ассоциативность пересечения).

III.Дистрибутивность операций(распределительное свойство):

(дистриб. пересечения относительно объединения);

(дистриб. объединения относительно пересечения).

IV.Особые случаи результатов операций над множествами:

если , то,;

,,;

,,;.

V.Законы двойственности:

;.