18

Модуль №1: множества и функции

Электронный конспект лекций

по дисциплине «Математический анализ» для студентов 1 курса

Оглавление

Тема I. Множества

§1. Множества: определение, способы задания, основные операции.

§2. Множество действительных чисел: определение, геометрическая интерпретация, модуль, стандартные подмножества.

§3. Расширенная числовая прямая. Промежутки. Окрестности точек.

§4. Ограниченные числовые множества. Определение точной верхней и точной нижней граней множества, теорема об их существовании.

§5. Отображения множеств. Типы отображений. Обратное отображение. Суперпозиция отображений.

§6. Сравнение множеств. Счетные множества.

Тема II. Числовые функции

§7. Числовые функции: определение, способы задания, график.

§8. Основные характеристики числовых функций.

§9. Обратная функция: определение, условие существования, график.

§10. Классификация функций. Алгебраические и трансцендентные функции. Рациональные дроби.

§11. Основные элементарные функции, их определения и графики. Преобразования графиков.

Тема III. Множество комплексных чисел.

§12. Комплексные числа: определение, геометрическая интерпретация, действия в алгебраической, тригонометрической и показательной формах.

§13. Целые функции (многочлены) и их основные свойства. Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.

§14. Элементарные функции КП (электротехника)

1. Множества: определения, способы задания, основные операции

Содержание

Оглавление 2

§ 1. Множества: определения, способы задания, основные операции 3

1.1. Основные обозначения 3

1.2. Способы задания множеств 4

1.3. Подмножества 5

1.4. Основные операции над множествами 6

1.5. Примеры выполнения операций над множествами 10

1.6. Упражнения для самостоятельной работы 14

Вопросы для самопроверки 17

Глоссарий 17

1. Основные обозначения

Далее будут использоваться следующие обозначения:

A, B, C, X, Y, … — множества;

— множество действительных чисел;

 — множество натуральных чисел;

 — множество целых чисел;

— множество рациональных чисел;

a, b, c, x, y, … — элементы множеств;

— элементaпринадлежит множествуA;

— элементaне принадлежит множествуA;

— пустое множество, т.е. множество, которое не содержит ни одного элемента;

— знак всеобщности («для всех», «для любых», «для каждого»);

— знак существования («существует»);

— знак следствия («отсюда следует»);

— знак следствия в обе стороны, знак взаимно однозначного соответствия;

def — «по определению»;

/ или : — «таких, что»;

 — знак объединения множеств;

 — знак пересечения множеств;

\ — знак разности множеств;

, — знаки включения множеств;

AB—декартово произведение множестваAна множествоB;

B'_A— дополнение к множествуBв множествеA;

{ — логическое «и»;

[ — логическое «или»;

 — начало доказательства;

 — конец доказательства.

2. Способы задания множеств

Множество— это совокупность объектов или явлений, объединенных по какому-нибудь общему для них признаку. Множество состоит из элементов. Множество считается заданным, если о каждом элементе можно однозначно сделать вывод о том, входит или не входит этот элемент в рассматриваемое множество.

Если количество элементов множества может быть выражено некоторым натуральным числом или нулем, то имеем конечное множество. Количество элементов в конечном множествеобозначается.

Если количество элементов множества не может быть выражено натуральным числом или нулем, то имеембесконечное множество.

Если элементами множества являются числа, то имеемчисловое множество.

Основные способы описания множества

1) — множество состоит из элементовa;

2) — множество задано списком своих элементов;

3) — множество задано характеристическим свойством своих элементов.

4) Пустое множество считается конечным и.

Примеры(задание множеств)

 = {1, 2, 3, 4, 5, } – множество натуральных чисел;– множество корней уравнения;– множество решений неравенства;

–множество треугольников с вершинами в точках А,В,С;

–множество исходов, связанных с некоторым экспериментом.

Если множества состоят из одних и тех же элементов, то они называютсяравными множествами.

Примеры (равные множества)

1) ;

2) .