3. Теорема о существовании точных граней ограниченного множества

Теорема о существовании точных граней ограниченного множества

Всякое ограниченное сверху непустое числовое множество имеет точную верхнюю грань, а всякое ограниченное снизу непустое числовое множество имеет точную нижнюю грань.

 Пусть ограничено сверху,.

Обозначим В— множество чисел, ограничивающих сверху множествоХ(рис. 27).

Рис. 27

Если и, то из определения числа, ограничивающего множество сверху, следует, чтои это верно для.

По свойству непрерывности множества заключаем, что существует число, такое что выполняется неравенство.

Но так как ограничиваетХсверху; так какдля, тоявляется наименьшим среди всех чисел, ограничивающих множествоХсверху.

Поэтому по определению точной верхней грани множества получается, что , ч. т. д.

Вторая часть теоремы доказывается аналогичным образом. 

Замечание (к понятию точных граней множества)

1. Для неограниченных сверху множеств часто записывают «», а для неограниченных снизу ­­– «».

2. Если , то обозначается, то есть если точная верхняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называетсямаксимумом множества.

Аналогично, если, то обозначается, то есть если точная нижняя грань множества принадлежит этому множеству, то она называетсяминимумом множества.

Пример 3 (определение максимума и минимума множества)

1) ;

2)

min A не существует;

3) max B и min B не существуют.

4. Примеры решения задач на ограниченность множеств

Дано множество точек на координатной прямой. Требуется охарактеризовать его ограниченность, указать точные грани и экстремумы множества.

а) ; б).

Решение

а) Записываем элементы множества и изображаем их точками на координатной оси:

Описываем ограниченность множества , пользуясь определениями данного параграфа:

– ограничено сверху, т.к. существуют числа такие, что длявыполняется неравенство;

– не ограничено снизу, т.к. для найдетсятакой, что;

– неограниченное множество, т.к. не ограничено снизу;

– точная верхняя грань , т.к. число 3 является наименьшим из всех чисел, ограничивающих множествосверху;

– точная нижняя грань – не существует, или, т.к. множествоне ограничено снизу;

– максимум множества , т.к. 3 – это точная верхняя грань множестваи она принадлежит;

– минимум множества – не существует, т.к. нет точной нижней грани, следовательно, она не может принадлежать.

б) Решаем неравенство, определяющее множество , и изображаем множествоточками на координатной оси:

;

знаки дроби определяем методом интервалов:

Теперь описываем ограниченность множества :

– ограничено сверху, т.к. существуют числа такие, чтодля;

– ограниченно снизу, т.к. существуют числа такие, чтодля;

– ограничено, т.к. ограничено сверху и ограничено снизу;

– , т.к. число 0 является наименьшим из всех чисел, ограничивающих множествосверху;

– , т.к. число –2 является наибольшим из всех чисел, ограничивающих множествоснизу;

– не существует, т.к. числоне принадлежит;

– , т.к. числопринадлежит.

5. Упражнения для самостоятельной работы

Охарактеризуйте ограниченность следующих множеств и укажите их точные грани и экстремумы.

1. ; ; ; . 2. ; .

3. . 4. . 5. . 6. .

Ответы к упражнениям для самостоятельной работы

1. A₁ — ограничено, ,;A₂ — ограничено, , т.е.max A₂ не существует; , т.е.min A₂ не существует; A₃ — ограничено, ,;A₄ — ограничено, ,.

2. B₁ — неограниченное, но ограниченное снизу, ,,не существует;B₂ — неограниченное, но ограниченное снизу, ,,ине существуют.

3. C — ограниченное, ,.

4. D — неограниченное, так как не является ограниченным ни сверху, ни снизу, ,,ине существуют.

5. X — ограниченное, т. к. ;, т.е.max X не существует; .

6. Y — неограниченное, но ограниченное снизу, так как , т.е.max Y не существует; .