47

4. Ограниченность числовых множеств. Определения точной верхней и точной нижней граней множества, теорема об их существовании Содержание

§ 4. Ограниченность числовых множеств. Определения точной верхней и точной нижней граней множества, теорема об их существовании 38

4.1. Определения ограниченности множества 38

4.2. Точная верхняя и точная нижняя грани множества 40

4.3. Теорема о существовании точных граней ограниченного множества 42

4.4. Примеры решения задач на ограниченность множеств 43

4.5. Упражнения для самостоятельной работы 45

Вопросы для самопроверки 47

Глоссарий 47

1. Определения ограниченности множества

Рассмотрим некоторое непустое подмножество Xмножества.

Определения ограниченности множества ограниченного сверху множества; ограниченного снизу множества; ограниченного множества

1. Множество называютограниченным сверху множеством, если  число , такое что длявыполняетсянеравенство: (1) Число bназываетсяв этом случаечислом, ограничивающим сверху множество X. 2. Множество называютограниченным снизу множеством, если  число , такое что длявыполняется неравенство: (2) Число aназывается в этом случаечислом, ограничивающим снизу множество X. 3. Множество, ограниченное сверху и снизу, называетсяограниченным множеством: (3)

МножествоX, не являющееся ограниченным сверху, называетсянеограниченным сверху множеством, то есть

. (1')

МножествоX, не являющееся ограниченным снизу, называетсянеограниченным снизу множеством, то есть

. (2')

Множество, не являющееся ограниченным, называютнеограниченным множеством, т. е. неограниченное множество является неограниченным сверху или неограниченным снизу или неограниченным и сверху и снизу.

Пример 1 (описания ограниченности множеств)

1) — неограниченно, т. к. ограничено снизу (), но не ограничено

сверху;

2) — ограничено, так как ограничено и

сверху и снизу: .

Замечание (к определениям ограниченности множества)

1.

Очевидно из определений (1), (2), (3), что если множество Xобладает свойством ограниченности (сверху, снизу или в целом), то можно указать сколько угодно чиселaи (или)b, ограничивающих это множество сверху и (или) снизу. Например, для ограниченного снизу множествавыполняется не только неравенство, но и неравенства,,,… Поэтому все числаa, ограничивающие это множество снизу, образуют множество.

2.

Сравните определения (1) и (1'), (2) и (2'). Записи (1) и (2) определяют качество ограниченности, записи (1') и (2') определяют отрицание ограниченности, но определяют в позитивной форме, то есть без частицы “не”. Заметьте, что при определении отрицания некоторого понятия символ существования () заменяется на символ всеобщности (), а символ всеобщности заменяется на символ существования. Это есть одно из правил формальной логики, которым пользуются при построении отрицаний в позитивной форме.

2. Точная верхняя и точная нижняя грани множества

Определения точной верхней грани и точной нижней граней множества точной верхней грани множества; точной нижней грани множества

Пусть множество ограничено сверху. Наименьшее среди всех чисел, ограничивающих сверху это множество, называютточной верхней гранью множества(или просто верхней гранью) и обозначают sup X(supremum— наибольший). Если множество ограничено снизу, то наибольшее среди всех чисел, ограничивающих снизу это множество, называютточной нижней гранью множества(или просто нижней гранью) обозначается inf X(infimum— наименьший).

По этому определению имеем, что число β=supX, если

Рис. 25



точную верхнюю грань множества нельзя подвинуть влево.

Аналогично, число , если

Рис. 26



точную нижнюю грань множества нельзя подвинуть вправо.

На рисунках 25 и 26 обозначены множество – это множество всех чисел, ограничивающихХсверху, и множество– это множество всех чисел, ограничивающихХснизу. Очевидно, чтои, нои.

Учитывая этот разбор, можно записать наряду с данным выше описательным определением иформальное определение точных граней множества:

Число

Число

Пример 2 (определение точных граней множества)

1) — ограничено сверху и снизу, — ограничено сверху и снизу, следовательно, точная нижняя и точная верхняя грани множества могут как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству;

2) выполняется неравенствомножество является ограниченным;sup X = 1, inf X = 0;

3) — ограниченное множество,sup X = 3, inf X = –3;

4) — ограниченное множество,sup X = inf X = 5.