3. Арифметические действия над комплексными числами

Сложение (вычитание) комплексных чисел:

z₁  z₂ = (x₁ + iy₁)  (x₂ + iy₂) = (x₁  x₂) + i(y₁  y₂), (4)

то есть при сложении (вычитании) комплексных чисел складываются (вычитаются) их действительные и их мнимые части.

Например,

1) (1 + i) + (2 – 3i) = 1 + i + 2 –3i = 3 – 2i;

2) (1 + 2i) – (2 – 5i) = 1 + 2i – 2 + 5i = –1 + 7i.

Основные свойства сложения комплексных чисел:

1) z₁+z₂=z₂+z₁ — коммутативность;

2) z₁+z₂+z₃= (z₁+z₂) +z₃=z₁+ (z₂+z₃) — ассоциативность;

3) z₁–z₂=z₁+ (–z₂) — обратная операция (вычитание);

4) z+ (–z) = 0 — сложение противоположных чисел;

5) — сложение комплексно сопряженных чисел.

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме:

z₁∙z₂ = (x₁ + iy₁)∙(x₂ + iy₂) = x₁x₂ + x₁iy₂ + iy₁x₂ + i²y₁y₂  = (x₁x_2 – y₁y₂) + i(x₁y₂ + y₁x₂),

то есть умножение комплексных чисел в алгебраической форме проводится по правилу алгебраического умножения двучлена на двучлен с последующей заменой и приведением подобных по действительным и мнимым слагаемым.

Например,

1) (1 + i)∙(2 – 3i) = 2 – 3i + 2i – 3i² = 2 – 3i + 2i + 3 = 5 – i;

2) (1 + 4i)∙(1 – 4i) = 1 – 4² i² = 1 + 16 = 17;

3) (2 + i)² = 2² + 4i + i² = 3 + 4i.

Умножение комплексных чисел тригонометрической форме:

z₁∙z₂ = r₁(cos₁ + isin₁)r₂(cos₂ + isin₂) =  = r₁r₂(cos₁cos₂ + icos₁sin₂ + isin₁cos₂ + i² sin₁sin₂) =  = r₁r₂((cos₁cos₂ – sin₁sin₂) + i(cos₁sin₂ + sin₁cos₂))

Произведение комплексных чисел в тригонометрической форме(6)

то есть при умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются.

Например,

Основные свойства умножения комплексных чисел:

1) z₁z₂=z₂z₁— коммутативность;

2) z₁z₂z₃= (z₁z₂)z₃=z₁(z₂z₃) — ассоциативность;

3) z₁(z₂+z₃) =z₁z₂+z₁z₃— дистрибутивность относительно сложения;

4) z0 = 0;z1  =z; — умножение на ноль и на единицу;

5) — умножение комплексно сопряженных чисел.

Деление комплексных чисел— это обратная умножению операция, поэтому если zz₂ = z₁ и z₂  0, то .

При выполнении деления в алгебраической форме числитель и знаменатель дроби умножаются на число, комплексно сопряженное знаменателю:

Деление комплексных чисел в алгебраической форме. (5)

При выполнении деления комплексных чисел в тригонометрической форме их модули делятся, а аргументы вычитаются:

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме. (6)

Например,

1) ;

2) .

Возведение комплексного числа в натуральную степень:

возведение комплексного числа в натуральную степень удобнее выполнять в тригонометрической форме:

в результате получаетсяформула Муавра:

Формула Муавра, (7)

то есть при возведении комплексного числа в натуральную степень его модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Пример (возведение комплексного числа в натуральную степень)

Вычислим (1 + i)¹⁰:

Замечание (к операциям умножения и возведения в натуральную степень комплексных чисел)

При выполнении операций умножения и возведения в натуральную степень в тригонометрической форме могут получаться значения углов за пределами одного полного оборота. Но их всегда можно свести к угламилиотбрасыванием целого числа полных оборотов по свойствам периодичности функцийи.

Значение , называютглавным значением аргументакомплексного числа; при этом значения всех возможных угловобозначают; очевидно, что,.