5. Монотонность и экстремумы функции

Функция называетсямонотонно возрастающей функцией на промежутке, если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции (рис.52).

Рис.52

Функция называется монотонно убывающей функцией на промежутке , если любому большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции (рис.53).

Рис.53

Функцияf(x)на промежутке называетсямонотонной функцией, если она на этом промежутке только монотонно возрастает или только монотонно убывает.

Точка называетсяточкой локального максимума функции, если значение функции в этой точке является наибольшим по сравнению с теми значениями, которые функция имеет во всех точках, достаточно близких к точке.

Максимумом функцииназывается значение функции в её точке локального максимума:где- точка максимума (рис.54).

- точка локального максимума функции такая окрестностьчтопри

Рис.54

Точка ,называетсяточкой локального минимума функции, если значение функции в этой точке является наименьшим по сравнению с теми значениями, которые функция имеет во всех точках, достаточно близких к точке.

Минимумом функцииназывается значение функции в её точке локального минимума:где- точка минимума (рис.55).

- точка локального минимума функции такая окрестность что при

Рис.55

Локальные максимумы и минимумы функции называютсялокальными экстремумами функции. Функция может иметь на своейООФнесколько локальных экстремумов (и даже бесконечно много). Локальные экстремумы могут быть только во внутренних точкахООФ, так как в их определении участвуют окрестности точек.

Например, рассмотрим функцию , заданную своим графиком и по графику охарактеризуем ее монотонность и экстремумы (рис.56):

Рис.56

ООФ: ;

;

;

.

Если функция задана аналитически и является непрерывной и дифференцируемой, то промежутки ее монотонности и локальные экстремумы можно найти с помощью необходимых и достаточных условий для этих характеристик, которые будут рассмотрены в теме «Дифференциальное исчисление функций одной переменной».

Замечание (к понятиям монотонности и локальных экстремумов)

Все определенные здесь понятия монотонности и локальных экстремумов функции предполагают строгие неравенства для значений функции, поэтому часто называются строгой монотонностью и строгими локальными экстремумами:

верно(или)строго(или строго);

верно(или)- точка строгого локальногоmax(или строгого локальногоmin).

В учебной литературе можно встретить определения аналогичных нестрогих понятий:

если,верно, тоназываетсянеубывающей функциейна промежутке(или нестрого возрастающей);

если,верно, тоназываетсяневозрастающей функциейна промежутке(или нестрого убывающей);

если верно(или), то точкаx₀называетсяточкой нестрогого локального экстремумафункцииf(x) (нестрогогоmaxили нестрогоmin).

Далее по умолчанию будем понимать монотонность и экстремумы как строгие понятия.