101

8. Основные характеристики числовой функции Содержание

§ 8. Основные характеристики числовой функции 85

8.1. Область определения и область значений функции 86

8.2. Нули функции и промежутки знакопостоянства 87

8.3. Четность, нечетность функций 89

8.4. Периодичность функции 91

8.5. Монотонность и экстремумы функции 95

8.6. Наибольшее и наименьшее значения функции 98

8.7. Ограниченность функции 99

8.8. Упражнения для самостоятельной работы 99

Вопросы для самопроверки 101

Глоссарий 101

В перечень основных характеристик числовой функции обычно включают:

− область определения функции,

− область значений функции,

− нули и промежутки знакопостоянства функции,

− четность, нечетность функции,

− периодичность функции,

− промежутки монотонности функции,

− экстремумы функции,

− наибольшее и наименьшее значения функции,

− ограниченность функции.

Эти характеристики часто называютглобальными характеристиками функции, так как они характеризуют числовую функцию в целом. Далее будем изучать ещелокальные характеристики функций -предел, непрерывность, дифференцируемость, дифференциал, которые описывают свойства функций локально, то есть в окрестности отдельных значений ее аргумента. Глобальные характеристики функции в основном известны из элементарной математики, поэтому здесь они повторяются обзорно.

1. Область определения и область значений функции

Областью определения числовой функции (ООФ)называется множество числовых значений, которые может принимать аргумент x, так чтобы функция имела смысл.

• ООФ– это основная характеристика любой функции, с учетом которой исследуются все остальные характеристики;

• ООФнаходится чаще всего как подмножествоXмножества действительных чисел, на котором выполнимы все операции, определяющие значение функцииyпо значению ее аргументаx; в этом случаеООФназываютестественной областью определения функции и она совпадает с областью допустимых значений (ОДЗ) дляв выраженииf(x);

• ООФможет находиться по смыслу функциии в этом случае она будет более узкой, чем естественнаяООФ;

• приняты и другие обозначения ООФ, например,D(f)илиD(y).

Областью значений числовой функции (ОЗФ)называется множество числовых значений, которые принимает функцияy, если ее аргумент.

ОЗФ– это вспомогательная характеристика функции, которая вполне определяется после построения графика функции. До того, как график построен,ОЗФможет быть найдена только в отдельных случаях, когда это помогают сделать известные свойства основных элементарных функций, с помощью которых записана исследуемая функция. ДляОЗФприняты также обозначенияE(f)илиE(y).

Пример 1 (нахождение ООФ и ОЗФ)

1) ООФ: или ;

ОЗФ:, так как это сложная функция, полученная суперпозицией двух функций:и;

2) ООФ: ;

ООФзаписана из ограничения по делению: на ноль делить нельзя;

ОЗФможно найти только после построения графика функции;

3) ООФ: ;

ООФопределена операцией извлечения корня квадратного, которая имеет смысл только для неотрицательных чисел;

ОЗФ:, так как корень квадратныйпринимает все неотрицательные значения, если ;

4) ООФ: ;

здесь ООФучитывает ограничения операции логарифмирования (логарифмы существуют только от положительных чисел) и операции деления (на ноль делить нельзя);

ОЗФопределяется после построения графика функции;

5) , ООФ: ;

здесь ООФ записана по смыслу задания функции;

ОЗФ:– определена по графику функции;

6) последовательность с общим членом может рассматриваться как функция натурального аргументаn,то естьООФ:;

здесь ООФзаписана по смыслу задания функции;ОЗФ:.

Таким образом, в качестве ООФ и ОЗФ могут получиться любые множества: непрерывные или дискретные, бесконечные или конечные, в том числе может получиться пустое множество.