10.3 Рациональные дроби

Рациональной дробью (рациональной функцией) называется функция, записанная как отношение двух целых многочленов:

, (2)

где,.

Например,

; ; .

Рациональные дроби (рациональные функции) делятся на правильные и неправильные.

Рациональная функция (2) называетсяправильной рациональной дробью, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе, то есть если, и называетсянеправильной рациональной дробью, если степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе, то есть если.

Например, в предыдущем примере: — правильная рациональная дробь,

и— это неправильные рациональные дроби.

Делением многочлена на многочлен «в столбик» любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби. Эта процедура называется выделением целой части в неправильной рациональной дроби.

Примеры (выделение целой части в неправильной рациональной дроби)

1) ,	так как
2) ,	так как

Простейшими (элементарными) рациональными дробяминазываются следующие правильные дроби видаI-IV:

I. II., k = 2, 3…	III. , IV., k = 2, 3,…
при этом D =b2– 4ac0, так что уравнениеax2+bx +c= 0 не имеет корней на.

Спараведливо следующее важное свойство правильных рациональных дробей:

Свойство (о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей)

Можно показать, что любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей вида I, II, III, IV. Для этого нужно:

1) многочлен в знаменателе правильной рациональной дроби разложить на произведение линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами;

2) записать простейшие дроби для каждого множителя знаменателя:

• для простого множителя (х – а) записать дробь вида I :

• для кратного линейного множителя (x–a)^kзаписать суммуkдробей вида I и II :

• для квадратичного множителя (ax² +bx + c) записать дробь вида III:

;

• для кратного квадратичного множителя (ax²+bx+c)^kзаписать суммуkдробей вида III, IV:;

3) неопределённые коэффициенты в числителях простейших дробей (A, B, C,A₁, B₁,…) найти из условия тождественного равенства исходной дроби и записанной суммы простейших дробей.

Примеры (разложение правильных рациональных дробей на сумму простейших дробей)

1)

2)

3)

4)

Вычислим неопределенные коэффициенты в разложениях 1) и 3):

1)

так как тождественно равны две дроби с одинаковыми знаменателями, то тождественно равны их числители:

1  A(x + 3) + B(x – 2); (*)

вычисляем числа А и В, используя метод частных значений x, суть которого состоит в следующем: тождественное равенство двух многочленов относительно x означает, что равны значения этих многочленов при любых частных значениях x; в рассматриваемом примере удобными частными значениями x являются x = 2 и x  = -3. подставим эти значения x в последнее равенство (*):

при x = 2 получим

при x = –3 получим

вычислив коэффициенты, обязательно нужно делать проверку получившемуся разложению:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены верно, и разложение правильной рациональной дроби на простейшие дроби имеет вид:

;

3)

для нахождения чисел А, В, С можно также использовать способ приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях x, который основан на следующем свойстве целых многочленов: тождественное равенство двух многочленов означает совпадение их коэффициентов при одинаковых степенях x;

в рассматриваемом примере в последнем равенстве справа раскроем скобки и приведем подобные по x:

приравниваем коэффициенты при x2:
приравниваем коэффициенты при x1:
приравниваем коэффициенты при x0:

в результате получилась система трёх линейных уравнений относительно трёх неизвестных А, В, С. Решаем эту систему:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены. Подставляем их в искомое разложение и обязательно делаем проверку:

—верно.

Ответ: