Лекция 2
Тема 3. Решение нелинейных уравнений
В различных инженерных и исследовательских задачах часто возникает необходимость нахождения одного или нескольких решений уравнений вида
Y( x ) =0, |
(3.1) |
где Y(x) - некоторая известная функция независимой переменной x. В определение функции Y(x) могут входить параметры, имеющие постоянные значения в каждой конкретной реализации функции. Например, функция
Y( x ) =ax2 +bx +c , |
(3.2) |
определяет множество многочленов второго порядка. Описание многочлена содержит одну независимую переменную – аргумент x, значения которой принадлежат диапазону [X0 , Xk] и три параметра a, b, c, не зависящие друг от друга.
Набор числовых значений этих трех параметров определяет одну реализацию, для которой по известным алгебраическим формулам могут быть вычислены значения двух корней.
Решениями или корнями уравнения (3.1), называются
значения аргумента х, обращающие равенство (3.1) в тождество.
Функции Y(x) могут быть алгебраическими или трансцендентными [1].
Алгебраическими называются уравнения, которые путем алгебраических преобразований могут быть приведены к канонической полиномиальной форме
Pn (x) = a0 + a1 x + a2 x2 +K+ an−1 xn−1 + an xn |
(3.3) |
В общем случае аналитическое решение может быть получено для алгебраических уравнений не выше четвёртого порядка [12]. Существуют аналитические формулы для решения:
-линейных уравнений a*x+b=0 (или a0 + a1*x = 0);
-квадратных уравнений a *x2 + b*x + c = 0 (или a0 + a1*x + a2*x2= 0);
-кубичных уравнений a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 = 0 и
-уравнений четвертой степени a0 + a1*x + a2*x2 + a3*x3 + a4*x4 = 0.
Для линейного уравнения a*x+b=0 существует одно очевидное решение x=b ⁄ a при a ≠ 0.
20 |
29.09.09 Любимов Е.Б. |
Лекция 2
Для квадратного уравнения a*x2 + b*x + c = 0 в зависимости от значения детерминанта D=(b2 – 4*a*c) решения находятся по алгоритму, определяемому соотношениями приводимыми ниже:
─ если D >0, то |
x1,2 = |
−b ± |
D , |
|
|
||||
|
|
|
2a |
b |
|
|
|
|
|
─ |
если D=0, то |
x1 = x2 = − |
, |
(3.4) |
|||||
2a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
─ |
если D<0, то |
x1,2 |
= − b |
±i |
|
D |
. |
||
|
|
||||||||
|
|
|
2a |
|
|
2a |
|||
Описание алгоритмов решения кубичных уравнений и уравнений четвертой степени имеется в [11] и [12].
3.1. Постановка задачи
Кроме алгебраических уравнений к нелинейным уравнениям, решения которых приходится искать при выполнении математических исследований различных технических систем, относятся также трансцендентные уравнения.
Трансцендентным уравнениям называются уравнения, неприводимые к виду алгебраических. В частности это уравнения, в которые входят тригонометрические, логарифмические и т.п. функции. Иногда для того, чтобы отличить эти уравнения от дифференциальных или интегральных уравнений их называют
"конечными" [2].
Для трансцендентных и алгебраических уравнения, порядок которых выше четвёртого, аналитические решения могут быть получены только в некоторых частных случаях. По этой причине математиками было разработано множество методов, позволяющих получать численные решения такого рода уравнений.
Алгоритмы численных методов решения нелинейных уравнений имеют итерационный характер. То есть решение находится за несколько последовательно выполняемых шагов, каждый из которых должен увеличивать точность решения.
В ряде случаев функции, для которых необходимо найти решения, получены в результате экспериментальных исследований. Такие функции не имеют аналитических описаний, а задаются числовыми таблицами (таблично-заданные, табличные,
решетчатые функции). В таблицы записываются последовательные значения аргумента и соответствующие им значения исследуемой
21 |
29.09.09 Любимов Е.Б. |