Лабораторная работа

"Решение нелинейных уравнений"

В различных инженерных и исследовательских задачах часто возникает необходимость нахождения одного или нескольких решений уравнений вида

F(x)=0 ( 1 )

где F(x) - некоторая известная функция независимой переменной x. В описание функции F(x) могут входить параметры, имеющие постоянные значения в каждой конкретной реализации функции. Например, функция

( 2 )

определяет множество многочленов второго порядка. Описание многочлена содержит одну независимую переменную – аргумент x, значения которой

принадлежат диапазону [X0 , Xk] и три параметра a, b, c, не зависящие друг от друга.

Набор числовых значений этих трех параметров определяет одну реализацию, для которой по известным алгебраическим формулам могут быть вычислены значения двух корней.

Решениями или корнями уравнения (1), называются значения аргумента

х, обращающие равенство (1) в тождество.

Функции F(x) могут быть алгебраическими или трансцендентными [1]. Алгебраическими называются уравнения, которые путем алгебраических преобразований могут быть приведены к канонической полиномиальной форме

В общем случае аналитическое решение может быть получено для алгебраических уравнений не выше четвёртого порядка [4]. Существуют аналитические формулы для решения:

Так для линейного уравнения a×x+b=0 существует одно очевидное решение x=b ⁄ a при a ≠ 0.

1

Описание алгоритмов решения кубичных уравнений и уравнений четвертой степени имеется в [3] и [4].

Постановка задачи нахождения корней нелинейных уравнений

Кроме алгебраических уравнений к нелинейным уравнениям, решения которых приходится искать при выполнении математических исследований различных технических систем, относятся также трансцендентные уравнения.

Трансцендентным уравнениям называются уравнения, неприводимые к виду алгебраических. В частности это уравнения, в которые входят тригонометрические, логарифмические и т.п. функции. Иногда для того, чтобы отличить эти уравнения от дифференциальных или интегральных уравнений их называют "конечными" [2].

Для трансцендентных и алгебраических уравнения, порядок которых выше четвёртого, аналитические решения могут быть получены только в некоторых частных случаях. По этой причине математиками было разработано множество методов, позволяющих получать численные решения такого рода уравнений.

Алгоритмы численных методов решения нелинейных уравнений имеют итерационный характер. То есть решение находится за несколько последовательно выполняемых шагов, каждый из которых должен увеличивать точность решения.

В ряде случаев функции, для которых необходимо найти решения, получены

врезультате экспериментальных исследований. Такие функции не имеют аналитических описаний, а задаются числовыми таблицами (таблично-

заданные, табличные, решетчатые функции). В таблицы записываются последовательные значения аргумента и соответствующие им значения исследуемой функции. На основании таблицы значений функции необходимо определить значение её корня.

Один из возможных вариантов алгоритма решения предусматривает построение по таблице аналитической аппроксимирующей функции

и нахождение решений для этой аналитической функции.

Общий подход к решению нелинейных уравнений

Численное решение нелинейного уравнения обычно осуществляется в 2 этапа:

1 этап – отделение корней состоит в выделении на заданном интервале изменения аргумента [X0 , Xk] подынтервалов, содержащих только один корень. Для отделения корней обычно выполняется вычисление таблицы значений функции и (или) построение её графика;

2 этап - уточнение корней выполняется на каждом промежутке, содержащем один корень, выделенном на первом этапе исследования поведения функции. Для уточнения значения корня выбирается один из

2

численных методов. Наиболее часто используются метод половинного деления (дихотомии), метод хорд, метод касательных (Ньютона) и др.

Первый этап исследования функции предусматривает проведение анализа её поведения по графику и (или) по таблице её значений.

Исследование функции F(x) обычно выполняется в пределах ограниченного диапазона значений [X0, Xk], определяемого исходя либо из каких-то инженерных соображений, либо по имеющимся предварительным данным.

В качестве примера, рассмотрим процедуру выполнения первого шага алгоритма решения нелинейного уравнения для функции F(x), график которой приведён на рис. 1. На основании этого рассмотрения сделаем очевидные выводы для постановки задачи нахождения решений этой функции.

Рис. 1. График исследуемой функции F(x)

─Из определения следует, что корень - это точка пересечения графика функции с осью абсцисс. В точках, являющихся корнями функции, происходит смена знака функции (см. рис. 1). На приведённом графике находится 4 корня функции F(x).

─Корни функции находятся в пределах подынтервала [xi,xi+1], на границах которого функция меняет знак.

─Выполняя предварительный анализ, мы можем оценить точность

решения по значению шага h =(xi+1-xi), использованного при построении графика исследуемой функции, определяющего значение интервала

неопределённости, задаваемого таблицей. Решение можно считать найденным, если

δ - требуемое значение интервала неопределённости, в пределах которого находится точка перемены знака функцией F(x), т.е. выполняется условие

3

Выполнение по отдельности каждого из этих условий, вообще говоря, может оказаться недостаточным для определения корня функции F(x).

На рис. 2 показана функция, для которой решение нельзя считать найденным, не смотря на то, что выполнено условие (5). Диапазон значений Х, в пределах которого выполняется условие (5) [0,4; 1,5]. Длина интервала неопределённости в этом случае равна (1,5-0,4)=1,1. Очевидно, что в этом случае нельзя считать корень найденным, хотя значения F(x) в этом интервале удовлетворяют условию (5).

Рис. 2.

На рис. 3. показаны функции, для которых нельзя считать решение найденным, не смотря на выполнение условия (6). В частности к таким функциям относятся функции, имеющие разрывы, в которых имеется перемена знака функции.

Рис. 3 Пример функции с разрывом в интервале [-3,2; -3,1]

На этапе предварительного анализа в общем случае не может быть получено абсолютно точное численное решение нелинейного уравнения.

Для оценки правильности получаемого решения вводятся критерии (5) и (6), позволяющие оценить его точность.

4