Лабораторная работа "Методы численного интегрирования"

Целью этой лабораторной работы является изучение методов

a

где a и b - нижний и верхний пределы интегрирования, функция f(x) непрерывная на отрезке [a, b].

При выполнении работы необходимо вычислить значение одного или нескольких определенных интегралов, используя для этого методы, относящиеся к классу методов Ньютона - Котеса. Методы этого класса основаны на полиномиальной аппроксимации подынтегральных функций.

В работе рассматриваются три варианта аппроксимации подынтегральной функции прямоугольниками, метод трапеций и метод Симпсона, в котором подынтегральная функция заменяется (аппроксимируется) параболой.

Методы численного интегрирования применяются тогда, когда невозможно или очень сложно найти первообразную для подынтегральной функции. В теоретическом курсе высшей математики интеграл определяется как предел

где ξi [xi-1 , xi], а R - погрешность вычисления интеграла.

Эта формула определяет сущность всех методов численного интегрирования. Интервал интегрирования [a; b] разбивается на n равных отрезков h=(b-a)/n. Название метода соответствует способу выбора аппроксимирующей функции.

Так выбор в пределах интервалов [xi;xi+1] одной точки ξi для вычисления в ней значения интегрируемой функции f(ξi) определяет аппроксимацию полиномом нулевой степени - константой. Такой выбор точки ξi неоднозначен. Значение интеграла на интервале [xi; xi+1] заменяется площадью прямоугольника, равной f(ξi)h.

Так, при выборе ξi = xi (i=0, 1, 2,..., n-1), метод называется методом левых прямоугольников. Если ξi = xi+1 (i=0, 1, 2, ... , n-1), это метод правых прямоугольников, а если ξi =(xi+xi+1)/2 (i=0, 1, 2,..., n-1)

– метод средних прямоугольников.

1

Методы левых и правых прямоугольников имеют сравнительно невысокую точность. Погрешность этих методов больше, чем погрешность метода средних прямоугольников. Погрешность метода средних прямоугольников сравнима метода трапеций или с погрешностью метода Симпсона.

На рис. 1 показана схема замены интегрируемой функции, определяющей площадь S криволинейной трапеции, ограничиваемую осью абсцисс Oх, криволинейным участком, определяемым функцией f(x) и прямыми x=a, x=b, множеством левых прямоугольников.

Рис.1. Графическое представление интегрирования методом левых прямоугольников

Для вычисления площади этой криволинейной трапеции отрезок [a, b] делится на n равных частей. Точки деления перенумеруем от 0 до n, так чтобы первая точка имела номер 0: х0 = а, а последняяномер n: хn = b. Расстояние между соседними точками h = xi+1 - xi можно вычислить по формуле

а значение xi=a+i*h (i= 0, 1,..., n).

Площадь криволинейной фигуры S можно представить как сумму площадей элементарных фигур Si и погрешности R:

2

Таким образом, суммируемые площади Si элементарных криволинейных фигур моделируются легко вычисляемыми площадями таких фигур, как прямоугольники, трапеции и фигуры, ограничиваемые с одной стороны параболой.

Методы прямоугольников

Метод прямоугольников может быть реализован в трёх вариантах: левых прямоугольников, правых прямоугольников и средних прямоугольников. В формулах метода прямоугольников одна сторона каждого прямоугольника h определяется по формуле (3), а значение второй стороны в зависимости от метода равно:

•f(xi) для i=0, 1, 2,...,n-1 в формуле левых прямоугольников:

f(xi) для i= 1, 2,...,n в формуле правых прямоугольников:

Обратите внимание на индексы в определении значения аргумента xi в обращениях к функциям, используемых для вычисления площадей элементарных прямоугольников и на то, что во всех вариантах метода суммируются площади (n-1) - го прямоугольника.

Метод трапеций

Рис. 2. Элементарная трапеция, площадь которой вычисляется в методе трапеций

3

Площадь элементарной фигуры моделируется площадью трапеции, у которой высота равна h, а параллельные стороны равны соответственно f(xi) и f(xi+1). Площадь этой элементарной трапеции вычисляется по формуле

Метод Симпсона

Этот метод основан на замене на промежутках [xi , xi+1] функции f(x) на параболу.

Для этого метода принципиально важно, чтобы n было четным, иначе невозможно построить параболы.

В дальнейшем мы будем сравнивать результаты, полученные тремя методами, поэтому число разбиений n должно быть одинаковым во всех трех формулах.

Правило Рунге

Для того чтобы оценить точность полученного значения интеграла на практике используется правило Рунге. Вычислив значение интеграла с шагом h, определённым по формуле (3) (обозначим это значение In), увеличим значение n в два раза и вычислим новое значение интеграла I2n . После чего можно выполнить оценку точности найденного значения интеграла по формуле

где ε - заданная точность определения значения интеграла.

4

Если условие (12) не выполнено, следует вычислить значение I4n, сравнить его по правилу (12) со значением I2n и т.д. до тех пор, пока это условие не будет выполнено.

Для окончательного уточнения значения интеграла при вычислениях, можно использовать поправку Рунге. В этом случае значение интеграла определяется равным

Вообще говоря, для решения этого примера не требуется численного интегрирования. Первообразная функции х2 равна х3/3 и, следовательно, точное значение этого интеграла равно

или 2,333(3).

На этом примере можно сравнить алгоритмы и оценить точности решений, получаемых при использовании различных численных методов. Пусть n=10,тогда h=(2-1)/10=0.1

Для вычисления интеграла сформируем таблицу значений интегрируемой функции

Методы прямоугольников.

Метод левых прямоугольников:

S лев.прямоуг=0,1*(1,00+1,21+1,44+1,69+1,96+2,25+2,56+2,89+3,24+3,61) =2,185

Этот же результат мы получим, если в какую-либо ячейку таблицы запишем формулу:

=СУММ(С2:С11)*0,1

5