Задания к лабораторной работе "Интерполяция таблично заданных функций"

Порядок выполнения вычислений

1.По таблице значений функции (2), используя формулу линейной интерполяции (1), вручную вычислить значение интерполируемой функции в точке (Х2+Х3)/2.

2.В таблице Excel сформировать таблицу (2), реализуя формулу

(1)как формулу Excel, вычислить значения интерполирующей функции YЛ(X) в точках определяющих середины отрезков

[xi, xi+1] (i=0, 1,… n) и сформировать расширенную таблицу (3), включающую вычисленные значения интерполируемой функции.

3.Вычислить коэффициенты канонического интерполирующего полинома и сформировать строку с вычисленными по формуле канонического полинома значениями. Сформированную строку YК(X) подключить к таблице (3).

4.По таблице значений функции (1) составить формулу интерполяционного многочлена Лагранжа. Используя полученную формулу, вручную вычислить значение интерполируемой функции в точке (Х2+Х3)/2.

5.Сформировать строку таблицы YЛ(X) со значениями интерполирующей функции, вычисленными по формуле Лагранжа в таблице Excel.

6.Записать таблицу конечных разностей. Вручную по формуле Ньютона вычислить значение интерполируемой функции в точке (Х2+Х3)/2.

7.Выполнить формирование строки таблицы YН(X) со значениями интерполирующей функции, вычисленными по формуле Ньютона.

8.По строкам сформированной таблицы построить графики четырёх функций.

Инструкция по выполнению лабораторной работы на ЭВМ

После выполнения ручных вычислений можно перейти к реализации решения на листе книги Excel.

1.После текстового описания постановки задачи на листе книги Excel формируется таблица с исходными данными,

определяющими табулируемую функцию (рис. 1)

Исходная таблица значений функции Y(X)

Рис. 1. Таблица данных, определяющих исследуемую функцию

2.Реализуя формулу линейной интерполяции (1) в ячейках таблицы

(3)на листе книги Excel вычисляем значения интерполируемой функции в строке результирующей таблицы (рис.4). На рис.3 эта строка

Рис.3. Реализация формулы линейной интерполяции в ячейках таблицы Excel

Рис.4. Результаты вычислений по формуле линейной интерполяции

3.Выполняем вычисление коэффициентов канонического полинома.

a)формула канонического полинома:

ϕ ( x ) = Pn ( x ) = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + . .. + c n x n

b)по степеням xi формируем матрицу коэффициентов канонического полинома и вектор правых частей системы уравнений (рис.5).

Рис.5. Формирование матрицы и вектора правых частей системы линейных алгебраических уравнений, используемой для определения коэффициентов канонического полинома

c)Используя функцию МОБР(), вычисляем значения элементов обратной матрицы и, решив систему линейных алгебраических уравнений, определяем вектор коэффициентов канонического полинома и проверяем правильность полученного решения.

d)Используя вычисленные значения коэффициентов, по формуле канонического полинома вычисляем значения интерполируемой функции (рис.6).

Рис.6. Результаты вычислений по формуле канонического полинома

e) Выполняем вычисления по формуле полинома Лагранжа.

L3(x) =l0 (x) +l1(x) +l2 (x) +l3(x)

где: li(x)= qi(x-x0)(x-x1)·(x-x2)(x-x3),

q0=Y0/(x0-x1)/(x0-x2)/(x0-x3) q1=Y1/(x1-x0)/(x1-x2)/(x1-x3) q2=Y2/(x2-x0)/(x2-x1)/(x2-x3) q3=Y3/(x3-x0)/(x3-x1)/(x3-x2)

и

l0(x)= q0(x-x1)·(x-x2)·(x-x3), l1(x)= q1(x-x0)·(x-x2)·(x-x3), l2(x)= q2(x-x0)·(x-x1)·(x-x3), l3(x)= q3(x-x0)·(x-x1)·(x-x2).

и

P3(Х)= a0+ a1 (X-X0) + a2 (X-X0)(X-X1)+ a3 (X-X0)(X-X1)(X-X2)

Полученные результаты (см. рис.8) подтверждают идентичность этих вариантов решения.

В строке формул на этом рисунке записано обращение к функции пользователя Nw1(), текст которой приведён ниже.

На рис.9 приведены три варианта формул, записанных в ячейки первого столбца для вычисления значений многочлена Ньютона в точке Х0.

Рис.8. Результаты вычислений по формуле Ньютона для трёх вариантов реализации

Рис.9. Варианты обращений при вычислениях по формуле Ньютона для трёх реализации

Формулы, записанные в столбец В таблицы протягиваются по строкам до столбца Н, обеспечивая вычисление значений интерполяционного полинома.

Окончательные результаты вычислений, оформленные в виде таблицы и диаграммы приведены на рис. 10.

На рис.11 и рис.12 приведены страницы отчёта по лабораторной работе, подготовленные для вывода на печать.

Сводная таблица результатов интерполяции

Текст функции, обеспечивающей вычисление значения интерполирующего полинома по формуле Ньютона.

Function Nw1(x, x0, x1, x2, Y0, d1, d2, d3, h)

'текущее значение аргумента х

'значения аргумента в узловых точках таблицы х0, х1, х2

'значения конечных разностей d0, d1,d2,d3

'h - шаг приращения аргумента х

Nw1 = Y0 + d1 * (x - x0) / h + d2 * (x - x0) * (x - x1) / (2 * h ^ 2) + d3 * (x - x0) * (x - x1) * (x - x2) / (6 * h ^ 3)

End Function

Рис.11. Первая страница отчёта (в режиме предварительного просмотра)

Рис.12 Вторая страница отчёта (в режиме предварительного просмотра)