13. Арифметическая середина и оценка её точности.

Имеется ряд равноточных измерений величины и её истинное значение, т.е.: - - Х.

Согласно определению случайной погрешности (=1-Х)или (1-Х=) можно написать для ряда случайных погрешностей

………….

Сложим почленно эти равенства [l] —= []после чего разделим их на n измерений

обозначим

Величина является арифметической серединой или средним арифметическим из результатов измерений l, тогда или

Вывод.

1)Так согласно 3-го свойства случайных погрешностей равноточных измерений,то арифметическая середина стремится к истинному значению при возрастании числа измерений

2)На практике выполняют небольшое количество измерений. Тем не менее,и в этих случаях принято считать арифметическую середину из равноточных измерений наиболее надёжным результатом таких измерений.

Отклонения, или вероятнейшие погрешности. Истинное значение измеряемой величины, как правило неизвестно.

Поэтому случайные погрешности не могут быть вычислены по формуле

,

а значит не может быть вычислена и С.К.П. отдельного измерения по формуле .

Тогда оценку точности измерений проводят по отклонениям или вероятнейшим

погрешностям отдельных измерений от арифметической середины:

Для установления свойств отклонений:

- сложим почленно эти равенства

- разделим почленно на n

- так как = X₀ или

поэтому =0

Сумма отклонений измеренных значенийот арифметической серединыравна нулю. Отклонениеназывается вероятнейшими погрешностями.

По отклонениям вычисляют С.К.П. отдельного измерения по формуле Бесселя.

(n-1)- число избыточных измерений

Кроме того, необходимо вычислить:

1)С.К.П. самой С.К.П. m в этом случае определяется по формуле

2)С.К.П. М арифметической середины вычисляют по формуле

,

где:

-m-С.К.П. отдельного измерения;

11

-n- число равноточных измерений.

Формула С.К.П. арифметического среднего, даёт возможность сделать практический вывод о том, что повышение точности путём многократных измерений одной и той же величины, выгодно только при небольшом числе измерений.

т =10”

Пример n=1;2;4;6;8;

М = 10”;7”;5”;4”;3”.

Поэтому в полевых геодезических работах средней точности число повторений не превышает 3-4 приемов.

Для существенного повышения точности нужно применить более точные приборы. Вывод С.К.П. арифметической середины в раз меньше С.К.П. отдельного измерения.

3)С.К.П. самой С.К.П. М находят по формуле:

Средние квадратические погрешности функций измеренных величин.

В практике измерений, часто приходится пользоваться величинами, которые не измеряются, а определяются на основании измеренных величин, т.е, являются некоторыми функциями.

Во всех таких случаях возникает задача вычислений С.К.П. функций, по известным С.К.П. измеренных величин (аргументов).

1)Дано U=х+у погрешности аргументов и

если каждый аргумент измерялся n раз.

…………………….

возведем равенства в квадрат и просуммируем

12

Разделив обе части на n

т.к.

согласно

-С.К.П. функции и аргументов.

Рассуждая аналогично, можно показать, что выражение справедливо и для функцииu=x-y, а если то.

2) U=

обозначив то на основании

, если