1.1.2. Определение напряжений и перемещений в стержне при растяжении-сжатии с учетом собственного веса (задача № 2) Условие задачи

Рис. 1.4. К решению задачи № 2:

а – схема нагрузки на стержень;

б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Стержень переменного сечения с соотношением площадей поперечных сеченийA₁/A₂ = 2 находится под действием сосредоточенных сил и собственного веса (рис. 1.4,а). Материал стержня на всех участках одинаков. Требуется построить эпюры распределения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня и определить перемещение сеченияа–а.

Решение

Строим эпюры изменения продольной силы и напряжений вдоль оси стержня. Собственный вес стержня принято учитывать, заменяя его распределенной по всей длине нагрузкой. Интенсивность распределенной нагрузки равна собственному весу, действующему на единицу длины стержня, т. е.

на первом и втором участках

,

на третьем участке

,

где – объемный вес материала стержня.

Эпюры продольной силы и напряжений строим, используя метод сечений, аналогично тому, как это делали в задаче № 1. Заметим, что угол наклона эпюры продольной силы зависит от величины q и, следовательно, при построении эпюрыN в масштабе угол ее наклона на первом и втором участке должен быть больше, чем на третьем участке, так какA₁по условию больше, чемA₂ (рис. 1.4,б). Угол же наклона эпюры напряжений зависит от объемного веса, и поэтому угол наклона эпюры напряжений на всех участках одинаков (рис. 1.4,в).

Находим перемещение (опускание) сечения а–а.Это перемещение можно искать разными способами. Попервомуспособу для определения перемещения используем формулу (1.4). ЗдесьF – сосредоточенная сила, вызывающая перемещение участка длинойl;G – собственный вес рассматриваемого участка. Эту формулу можно использовать на участках постоянного сечения между сосредоточенными силами. Отсчет надо вести от неподвижного сечения, т. е. заделки. Например, в рассматриваемой задаче перемещение сеченияа–а складывается из удлинения участка длинойl₁, которое мы обозначимl₁, и удлинения участка длинойl_a–l_a. При определении удлиненияl₁ в формуле (1.4) силаFравна суммеF₁,F₂и собственного веса всех расположенных ниже участков. Вес участка стержня длинойl₁:. Таким образом, по (1.4)

.

Удлинение l_aпроисходит под действием сосредоточенной силы, состоящей из силыF₂, веса участков стержня, расположенных ниже сеченияа–а, и собственного веса участка. То есть

.

Окончательно опускание сечения а–аравно.

Если построена эпюра распределения напряжений, то для определения перемещения заданного сечения удобно использовать второй способ, применяя формулу (1.2). В формуле (1.2), а– это площадь эпюры напряжений. Таким образом, если найти площадь двух трапеций на участке между неподвижным сечением (заделкой) и сечениема–а (заштрихованные площадииэпюрына рис. 1.4,в) и разделить полученную величину на модуль упругости, мы получим искомое перемещение сеченияа–а:

.

При вычислении перемещения обращайте внимание на единицы измерения величин, входящих в формулы. Рекомендуем окончательный результат получить в сантиметрах.