2. Исследование плоского напряженного состояния. Проверка прочности для сложного напряженного состояния

Рекомендуемая литература

Александров А. В., Потапов В. Д., Державин Б. П. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1995. Гл. 13 (§ 13.6).

Гастев В. А. Краткий курс сопротивления материалов. М.: Физматгиз, 1977. Гл. 3 (§ 10, 11), гл. 4 (§ 14, 15, 20).

Дарков А. В., Шпиро Г. С. Сопротивление материалов. М.: Высш. шк., 1989. Гл. 3 (§ 3.1–3.5, 3.7), гл. 8 (§ 8.1, 8.2).

Основные понятия и формулы

Напряженное состояние в точке тела. Пусть в нагруженном теле выбрана точка. Поднапряженным состояниемв этой точке понимают совокупность напряжений на всех площадках, проведенных через нее. Задают напряженное состояние три вектора напряжений на трех взаимно перпендикулярных площадках. Эти три взаимно перпендикулярные площадки можно выбрать произвольно. Векторы напряжений на всех других площадках можно вычислить по указанным трем векторам напряжений.

Когда говорят о точке тела, подразумевают малую ее окрестность, в которой напряженное состояние практически постоянно. В этой окрестности напряжения на параллельных площадках одинаковы, поэтому, говоря о напряженном состоянии в точке, параллельные площадки не различают. Важна только ориентация площадки, которую принято задавать перпендикулярным к ней вектором единичной длины – вектором внешней нормали.

Вводится прямоугольная система координат и три площадки, перпендикулярные ее осям x, y, z, которые образуют элементарный параллелепипед (элемент). Векторы напряжений на этих трех площадках обозначаются соответственно,,. Они задаются своими проекциями на оси координат. Проекции, перпендикулярные площадкам, называютсянормальными напряжениями,,. Индекс в обозначении указывает направление нормалик площадке. Проекции, лежащие в плоскости площадок, называютсякасательными напряжениями,,,,,. Первый индекс здесь определяет площадку, на которой действует напряжение, второй индекс указывает ось, в направлении которой напряжение действует.

Правило знаков для нормального напряжения: нормальное напряжениеположительно, если направление напряжения совпадает с направлением внешней нормали(направлено от площадки, растягивающее).

Следствием условий равновесия элемента тела является закон парности касательных напряжений: ;;. При этом касательные напряжения,направлены либо навстречу друг другу, либо в противоположные стороны.

С учетом закона парности касательных напряжений для задания напряженного состояния в точке нужно указать шесть параметров: три нормальных напряжения ,,и три касательных напряжения,,.

Графически напряженное состояние в точке изображается системой напряжений, действующих на гранях элементарного параллелепипеда, вырезанного из тела в окрестности точки. Ребра этого параллелепипеда параллельны осям координат и имеют длину,,.

Каково бы ни было напряженное состояние в точке, всегда можно найти три взаимно перпендикулярные площадки, на которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Эти площадкиназываются главными, действующие на них нормальные напряжения –главными напряжениями. Три главные площадки, являясь взаимно перпендикулярными, образуют элементарный параллелепипед. Главные напряжения принято обозначать,,с соблюдением условия.

Главные напряжения обладают свойством экстремальности: одно из них самое большое среди нормальных напряжений на площадках с произвольной нормалью , другое – наименьшее. В принятых обозначениях,. Пусть– модуль полного напряжения на произвольной наклонной площадке с нормалью. Свойство экстремальности означает также следующее:.

Главными направлениями напряженного состояния называют направления нормалей к главным площадкам. Эти направления обозначают цифрами 1, 2, 3. Главные площадки обозначают соответственно 1, 2, 3.

Напряженное состояние, при котором ни одно из трех главных напряжений не равно нулю, называется объемным. Если одно из главных напряжений равно нулю, то напряженное состояние называетсяплоским. Наконец, линейнымименуется напряженное состояние, при котором отлично от нуля только одно главное напряжение. Далее рассматривается плоское напряженное состояние, которое часто реализуется в конструкциях.

Пусть главная площадка с нулевым главным напряжением (а следовательно, вообще ненапряженная) расположена перпендикулярно оси y. Тогда при плоском напряженном состоянии отличны от нуля напряжения,,,(рис. 2.1; здесь ради простоты напряжения на левой и нижней гранях элементарного параллелепипеда не показаны; ненапряженная площадка совпадает с плоскостью чертежа).

Аналитическое исследование плоского напряженного состояния. Когда говорят об исследовании напряженного состояния, понимают вычисление по заданным на взаимно перпендикулярных площадках напряжениям напряжений на площадках произвольной ориентации, определение главных площадок и главных напряжений, площадок, по которым действуют экстремальные касательные напряжения.

При исследовании плоского напряженного состояния удобно пользоваться следующим правилом знаков для касательного напряжения: касательное напряжение положительно, если в плоскости чертежа оно обходит площадку по часовой стрелке.

Рис. 2.2. Напряжения на произвольной

наклонной площадке

Рис. 2.1.Плоское напряженное

состояние в точке тела

Пусть на двух взаимно перпендикулярных площадках заданы напряжения ,,,. На рис. 2.1, 2.2 нормальные напряжения,(растягивающие), касательное напряжение(обходит площадку по часовой стрелке), касательное напряжение(обходит площадку против часовой стрелки). При указанном правиле знаков длязакон парности касательных напряжений принимает вид

. (2.1)

Если рассматривать только площадки, перпендикулярные незагруженной площадке, то положение площадки определяет угол между нормалью к ней и осьюx(см .рис. 2.2).Уголотсчитывается от осиx к нормалиисчитается положительным, если отсчет происходит против часовой стрелки.

Нормальное напряжение и касательное напряжениена этой площадке определяются по формулам

; (2.2а)

.(2.2б)

Примечание. В правой части формул (2.2а) и (2.2б) на первом месте стоит нормальное напряжение на той площадке, от нормали к которой отсчитан угол. Касательное напряжение берется с этой же площадки.

Формулы (2.2а) и (2.2б) показывают, что плоское напряженное состояние в точке определяется тремя параметрами – напряжениями ,,: зная эти три параметра, можно вычислить напряжения по любой площадке.

Пусть – нормальное напряжение на площадке, перпендикулярной площадке с нормальюn. Из выражения (2.2а) следует, что

, (2.3)

то есть сумма нормальных напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках не изменяется при совместном повороте этих площадок (является инвариантом напряженного состояния).

Формулы (2.2а) и (2.2б) упрощаются, когда заданные площадки являются главными (то есть на них отсутствуют касательные напряжения). Пусть в этом случае главные напряжения обозначены ,, тогда

(2.4)

Если исходные площадки не являются главными, то главные напряжения могут быть вычислены по формуле

. (2.5)

Согласно (2.3)

. (2.6)

Положение главных площадок определяет угол , который находится из уравнения

. (2.7)

Формуле (2.7) отвечает множество углов , отличающихся друг от друга на величину, кратную 90°. Разные главные площадки соответствуют только двум из этих углов, которые обозначают,.

Для определения площадки, на которой действует бóльшее из напряжений,, можно установить, исследуя признак второй производной функции, заданной выражением (2.2а). Эта производная

. (2.8)

Если при, то на этой площадке действует меньшее из напряжений,, если, – то бóльшее (случай равенства нулю не встречается).

Для главных напряжений, как уже было сказано, используется специальное обозначение: ,,(). В рассматриваемом случае плоского напряженного состояния– максимальное, а– минимальное (с учетом знака) из трех напряжений,, 0.

Касательное напряжение, максимальное среди касательных напряжений на всех вообще площадках в рассматриваемой точке,

. (2.9)

Такое напряжение действует на площадке, перпендикулярной площадке 2 и повернутой относительно площадки 1 на угол 45°. На площадке сдействует нормальное напряжение

.

Площадка 2 может совпадать с плоскостью чертежа, но может и совпадать с одной из площадок, по которым действуют ,. Соответственно рассматриваемая площадка сможет быть перпендикулярна плоскости чертежа, но может быть и повернута из плоскости чертежа.

Касательное напряжение, максимальное по модулю среди напряжений на площадках, перпендикулярных плоскости чертежа,

. (2.10)

Величина в общем случае не равна. Соответствующая ей площадка перпендикулярна плоскости чертежа и наклонена к площадкам,на угол 45°. На этой же площадке действует нормальное напряжение

. (2.11)

Графическое исследование плоского напряженного состояния. Формулы (2.2а) и (2.2б) можно представить в графической форме. Как известно из аналитической геометрии, в декартовой системе координат параметрическое уравнение окружности радиусас координатами центра,имеет вид

;. (2.12)

Если в формулах (2.12) обозначить ,,,,, то формулы примут вид (2.2а) и (2.2б). Значит, напряжения,на площадке с нормалью, заданной углом, являются координатами точки окружности радиуса, центр которой лежит на горизонтальной оси и имеет координату. Построенную таким образом окружность обычно называют "кругом Мора".

Деформированное состояние в точке.Деформированное состояниев точке нагруженного тела есть совокупность линейных относительных деформаций отрезков, проведенных через эту точку, и изменений углов между отрезками (угловых деформаций). Деформированное состояние в точке задано, если для любых двух направлений могут быть вычислены линейные и угловые деформации.

Деформированное состояние в точке определяют шесть параметров: линейные относительные деформации ,,по трем взаимно перпендикулярным направлениям,,и изменения прямых углов между этими направлениями,,.

Всегда можно провести через точку три взаимно перпендикулярные прямые, углы между которыми не изменятся вследствие деформации. Оси координат, совпадающие с этими прямыми, называются главными осями деформированного состояния в точке.

Связь между напряжениями и деформациями.Для изотропного материала (свойства материала одинаковы во всех направлениях) при не слишком большом уровне напряжений связь напряжений и деформаций описывает обобщенный закон Гука:

(2.13)

Здесь ,,– упругие характеристики материала;– модуль Юнга (модуль упругости);– коэффициент Пуассона ();– модуль сдвига, для которого имеет место соотношение.

Для изотропного материала главные оси деформированного состояния и главные оси напряженного состояния совпадают, поэтому линейные деформации вдоль главных осей напряженного состояния определяются соотношениями (2.13):

,

, (2.14)

.

Соответствующие угловые деформации равны нулю.

Относительная объемная деформация в точке (отношение абсолютного изменения объема элементарного параллелепипеда к первоначальному объему) не зависит от выбора системы координат:

. (2.15)

Оценка прочности.Прочность материала в точке проверяется по соответствующей материалу теории прочности. Из большого числа ныне существующих теорий прочности при выполнении студенческих задач используются перечисляемые ниже.

Под исчерпанием прочности подразумевается переход материала в предельное состояние – разрушение для хрупкого материала и развитие пластической деформации для пластичного материала. Расчет должен обеспечивать некоторый нормативный запас прочности, что проще всего достигается введением коэффициента запаса прочности, понижающего разрешаемый уровень напряжений.⁵

Для всех применяемых при выполнении расчетно-проектировочной работы теорий прочности условие прочности можно записать в едином виде

, (2.16)

где – допускаемое напряжение. Величинапредставляет собой предельный уровень напряжения и определяется из эксперимента. Для хрупких материалов она совпадает с пределом прочности при осевом растяжении, для пластичных материалов – с пределом текучести при осевом растяжении.n– нормируемый коэффициент запаса прочности.– комбинация главных напряжений,,(эквивалентное напряжение).

Согласно первой теории прочности, справедливой для хрупких материалов, разрушение происходит от отрыва при достижении максимальным напряжением (оно должно быть положительным, т. е. растягивающим) предельного значения. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению главного напряжения. Условие прочности имеет вид

. (2.17)

Вторая теория прочности также применяется к хрупким материалам. Согласно этой теории разрушение происходит от отрыва при достижении максимальной деформацией (она должна быть положительной) предельного значения. Деформации вплоть до момента разрушения считаются малыми и вычисляются по закону Гука. Плоскость отрыва (опасное сечение) перпендикулярна направлению действия главного напряжения. Условие прочности приводится к виду

. (2.18)

Третья теория прочности определяет уровень напряжений, при котором в пластичном материале возникают заметные остаточные деформации. Согласно третьей теории прочности переход материала в предельное состояние происходит от сдвига при достижении максимальным касательным напряжением предельного значения. Плоскость пластического сдвига (опасное сечение) совпадает с плоскостью действия напряжения. Данной теории соответствует условие прочности

. (2.19)

Согласно четвертой теории прочности пластическое деформирование возникает от сдвига при достижении энергией изменения формы предельного значения. Условием прочности служит соотношение

. (2.20)

Сама эта теория прочности непосредственно не определяет положения опасных площадок. Последние (на основании иной трактовки теории) можно считать равнонаклоненными к главным осям (октаэдрические площадки).

Условие прочности, соответствующее теории прочности Мора (пятой теории прочности), относящейся к хрупким материалам, имеет вид

. (2.21)

Здесь ,– пределы прочности при растяжении и при сжатии. Эта теория учитывает взаимодействие нормального и касательного напряжений на площадке с, которая, следовательно, должна считаться плоскостью зарождения начальной микротрещины. (Согласно опыту плоскость развивающейся далее макротрещины перпендикулярна первому главному направлению.)

Среди первой, второй и пятой теорий лучше количественно согласуется с опытом при плоском напряженном состоянии последняя теория. Третья и четвертая теории обе имеют достаточную пригодность для использования в инженерных расчетах.