2.2. Исследование плоского напряженного

СОСТОЯНИЯ ПО ЗАДАННЫМ НАПРЯЖЕНИЯМ

НА ГЛАВНЫХ ПЛОЩАДКАХ.

ПРОВЕРКА ПРОЧНОСТИ (ЗАДАЧА № 8)

Условие задачи

На гранях элементарного параллелепипеда заданы главные напряжения (рис. 2.14). Материал элемента – чугун cхарактеристикамиМПа,МПа,МПа,. Нормативный коэффициент запаса прочности.

Рис. 2.14. Заданное

напряженное состояние

в условии задачи № 8

Требуется:

1. найти нормальное , касательноеи полноенапряжения на наклонной площадке, заданной угломи изображенной на рис. 2.14;

2. найти величины наибольшего касательного напряжения и соответствующего ему нормального напряжения, показать положение площадки, на которой эти напряжения действуют;

1. 

   Рис. 2.15. Определение

   напряжений на наклонной площадке

   проверить прочность материала; найти действительный коэффициент запаса прочности.

Решение

Заданный элемент ограничен главными площадками, поэтому сразу пронумеруем главные напряжения по убыванию (,МПа,МПа) и изобразим на рисунке главные оси (рис. 2.15).

Определение напряжений. Напряжения на наклонной площадке вычисляются так же, как в задаче № 7. Единственное отличие состоит в том, что можно использовать частный случай (2.4) общих формул (2.2а) и (2.2б). Положение наклонной площадки будем задавать углом, отсчитываемым от оси 3 к нормалиn. Значениеположительно, так как угол отсчитывается против часовой стрелки.

Согласно (2.4)

Модуль полного напряжения

МПа.

Примененная формула для касательного напряжения справедлива для площадок, перпендикулярных плоскости чертежа. Максимальное для таких площадок касательное напряжение

МПа.

Соответствующее нормальное напряжение

МПа.

Рис. 2.16. Площадка

с максимальным касательным напряжением для заданного плоского напряженного

состояния

Подсчитанное выше значение касательного напряженияне самое большое из всех возможных значений. Это значение является максимумом для касательных напряжений по площадкам, перпендикулярным плоскости чертежа. Площадка, на которой действует, расположена под углом 45° к главным площадкам 2, 3 (рис. 2.16).

Максимальное касательное напряжение (максимум вычисляется для всех возможных площадок, проведенных через точку) и соответствующее ему нормальное напряжение

МПа,

МПа

Рис. 2.17. Площадка

с максимальным касательным напряжением для заданного объемного напряженного

состояния

всегда действуют на площадке, перпендикулярной второй главной площадке и повернутой на угол в 45°к первой и третьей главным площадкам (рис. 2.17). Заметим особо, что теперь, в отличие от результата в задаче № 7,.

Круг напряжений для заданного плоского напряженного состояния показан на рис. 2.18. Координаты точки дают значение напряжений на площадке с нормальюn. Площадке ссоответствует точкакруга.

На рис. 2.19 показаны все три круга напряжений. Видно, что площадке с наибольшим по модулю касательным напряжением соответствует точка, лежащая на бóльшем круге напряжений.

Проверка прочности.По условию задачи материал элемента хрупкий. При проверке прочности используем теории прочности, относящиеся к хрупким материалам.

Расчетное напряжение, соответствующее первой теории прочности

.

Видим, что первая теория прочности не годится для оценки прочности, так как она выдает в рассматриваемой ситуации неправдоподобный результат: при любом уровне напряжений прочность обеспечена.

Расчетное напряжение, соответствующее второй теории прочности,

Рис. 2.18. Круг Мора, изображающий заданное плоское

напряженное состояние

Прочность обеспечена с фактическим коэффициентом запаса

,

большем нормативного ().

Расчетное напряжение, соответствующее теории прочности

Мора,

Прочность обеспечена. Фактический коэффициент запаса

.

Рис. 2.20. Опасная площадка

по первой и второй теориям

прочности

Рис. 2.19. Круги Мора,

изображающие заданное объемное напряженное состояние

Опасная плоскость показана на рис. 2.20 жирной линией. Она перпендикулярна первому главному направлению. Если напряженное состояние достигнет критического уровня (для этого все напряжения надо увеличить враз), то по указанной плоскости произойдет разрушение.