1.1. Расчет статически определимых стержневых систем Основные определения

Статически определимая стержневая система– это конструкция, состоящая из стержней, для определения внутренних усилий в которых достаточно уравнений статики. В данном разделе рассматриваются конструкции, стержни которых работают только на растяжение-сжатие, т. е. в каждом стержне возникает только одно внутреннее усилие – продольная силаN.

Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций, подробно о которых можно прочитать в [1,§ 3.12]. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности можно записать в таком виде:

, (1.5)

где – максимальное напряжение в конструкции, определяемое по формуле (1.1);– характеристика материала, называемаядопускаемым напряжением. Допускаемое напряжение находится по формуле

. (1.6)

В формуле (1.6) – предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступаетпредельное состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня – пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого материала;n – нормируемый коэффициент запаса прочности.

Кроме формулы (1.5), возможен второй вариант условия прочности

, (1.7)

где

(1.8)

называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.

Порядок решения большинства задач о проверке прочности статически определимых стержневых систем при расчете по допускаемым напряжениям сводится к следующим этапам:

1. находим внутренние усилия (продольную силу при растяжении-сжатии) и выявляем опасные сечения;

2. определяем напряжения;

3. после выявления максимальных напряжений используем условие прочности (формулы (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии).

   Из условия прочности:

• либо находим грузоподъемность конструкции, т. е. ищем допускаемую нагрузку– максимальную нагрузку, обеспечивающую безопасную эксплуатацию конструкции;

• либо подбираем сечения стержней, т. е. находим такие минимальные размеры поперечного сечения, которые обеспечивают безопасную эксплуатацию конструкции.

Если нагрузка на конструкцию задана и известны размеры поперечных сечений стержней, то просто проверяем прочность (по формулам (1.5) или (1.7) при растяжении-сжатии) и делаем вывод о возможности эксплуатации конструкции.

Примеры решения задач

1.1.1. Подбор сечения стержня, подверженного

растяжению-сжатию (задача № 1)

Условие задачи

Стержень переменного сечения с заданным отношением площадей подвержен действию нагрузок, показанных на рис. 1.3,а. Цель расчета – подобрать площади поперечного сечения стержня так, чтобы на каждом участке соблюдалось условие прочности (1.5) или (1.7). (При этом должно выполняться заданное отношение площадей.)

Решение

Определяем продольную силу и строим эпюру распределения Nвдоль оси стержня. Для этого сначала из уравнения равновесия всего стержня находим опорную реакцию:

.

Рис. 1.3. К решению задачи № 1:

а – схема нагрузки на стержень;

б, в – эпюры продольной силы и напряжений

Затем, используя метод сечений, определяем продольную силу в произвольном сечении на каждом участке стержня:

на первом участке ) ;

на втором участке ;

на третьем участке .

Ищем значения N на границах участков. На первом участке продольная сила постоянна и не зависит отx. В начале второго участка

,

в конце второго участка

.

Аналогично для третьего участка

, .

По полученным точкам строим эпюру N. На рис. 1.3,бэпюраN построена для следующих исходных данных:м,м;F₁= 10 кН,F₂= 40 кН,q₁ = 15 кН/м,q₂ = 20 кН/м.

Зная продольную силу, по формуле (1.1) находим напряжения в стержне и строим эпюру распределения напряжений по длине стержня (рис. 1.3, в). Заметим, что на эпюре продольных сил скачки (т. е. резкие изменения усилий при переходе в соседнее сечение) имеют место под сосредоточенными силами на величину этих сил, на эпюре напряжений скачки появляются так же и в местах изменения поперечного сечения.

Для подбора сечения стержня по эпюре напряжений выбираем опасные сечения с максимальными напряжениями. Причем для хрупких материалов важным является не только абсолютное значение напряжения, но и его знак. Более опасным является растягивающее напряжение, так как разрушающее напряжение при растяжении у хрупкого материала много меньше прочности при сжатии. Например, на эпюре, показанной на рис. 1.3,в, опасным является не только сечение в начале третьего участка, где действуют максимальные сжимающие напряжения, но и сечение в конце третьего участкас максимальными растягивающими напряжениями. Таким образом, для стержня, показанного на рис. 1.3, должны выполняться условия прочности в трех опасных сечениях:

для чугунной части

, откуда,

и;

для стальной части

, тогда.

Из трех значений A₁, найденных из условий прочности в опасных сечениях выбираем то, которое удовлетворяетвсемусловиям. ЗначениеА₂находим по заданному соотношению:.

Для проверки вычислений находим действительные коэффициенты запаса прочности на каждом участке по формуле (1.8) и сравниваем их с нормируемым коэффициентом запаса. На самом опасном участке (в опасном сечении) действительный коэффициент запаса прочности должен равняться нормируемому, а на остальных участках согласно (1.7) должен быть больше нормируемого.