
- •Н. Б. Левченко
- •Общие указания по выполнению расчетно-графических работ
- •Используемые обозначения
- •5. Сложное сопротивление
- •Основные понятия и формулы
- •5.1. Расчет балки, подверженной косому или пространственному изгибу
- •5.2. Внецентренное растяжение-сжатие стержней большой жесткости
- •6, 7 – Внутренние угловые
- •5.2.2. Определение грузоподъемности жесткого стержня моносимметричного сечения при внецентренном растяжении-сжатии (задача № 29)
- •5.2.3. Определение грузоподъемности внецентренно сжатых жестких стержней несимметричных сечений (задачи № 30, 31)
- •5.3. Общий случай сложного сопротивления Основные определения
- •Примеры решения задач
- •5.3.1. Расчет стержня в общем случае сложного сопротивления (задача № 32) Условие задачи
- •5.3.2. Расчет коленчатого вала на изгиб с кручением (задача № 33)
- •Основные определения
- •Пример расчета коленчатого вала
- •6. Устойчивость
- •Основные понятия и формулы
- •Примеры решения задач
- •6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
- •6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
- •6.3. Расчет гибкого сжато-изогнутого стержня (задача № 36)
- •7. Расчет на динамическую нагрузку
- •7.1. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы (задача № 37)
- •Основные определения
- •Пример расчета системы с одной степенью свободы Условие задачи21
- •Решение
- •7.2. Расчет рамы (балки) на ударную нагрузку (задача № 38) Основные определения
- •Условие задачи
- •Решение
- •Список литературы
- •Содержание
- •Сопротивление материалов
- •Часть 3
Примеры решения задач
6.1. Определение грузоподъемности центрально-сжатого стержня (задача № 34)
Условие задачи
Рис. 6.3. Условие
задачи № 34:
а
– сжатый стержень;
б
– поперечное сечение стержня
.
Требуется:
найти значение критической нагрузки;
определить допускаемую нагрузку так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности стержня;
вычислить нормируемый коэффициент запаса устойчивости.
Решение
Прежде всего найдем моменты инерции поперечного сечения относительно главных центральных осей. Сечение имеет две оси симметрии (оси y и z на рис. 6.3, б), поэтому эти оси и будут главными центральными осями инерции сечения. Моменты инерции относительно этих осей определяем, используя данные из сортамента прокатной стали и формулы (5.16), (5.17):
Минимальным оказался момент инерции относительно оси z. Определяем площадь сечения
и минимальный радиус инерции по формуле (5.10)
Теперь можно найти
гибкость стержня. Для заданного условия
закрепления стержня в соответствии с
рис. 6.2,б
коэффициент
.
Тогда по формуле (6.1)
Сравним величину
полученной гибкости стержня с
характеристиками
и
для стали С235. По формуле (6.5)
по таблице,
приведенной в [4, с. 29],. Таким образом,
и для определения критической силы
следует использовать формулу Ясинского
(6.3):
Значения коэффициентов a и b в формуле Ясинского взяты из таблицы на с. 29 [4] и переведены из МПа в кН/см2.
Найдем допускаемую
нагрузку из условия устойчивости по
формуле (6.7). Для определения коэффициента
используем таблицу на с. 370 [2]16.
Интерполируем значения
,
заданные в таблице:
соответствует
,
а
–
.
Тогда гибкости
рассматриваемого стержня соответствует
.
Значение допускаемой нагрузки
Проверим, удовлетворяет ли найденная допускаемая нагрузка условию прочности (6.8). Вычислим площадь нетто, уменьшив полную площадь сечения на площадь, занимаемую четырьмя отверстиями под болты17:
Тогда условие прочности
выполняется.
В заключение найдем нормируемый коэффициент запаса устойчивости по формуле (6.9):
Коэффициент запаса
устойчивости находится в пределах
.
6.2. Подбор сечения центрально-сжатого стержня (задача № 35)
Рис. 6.4. К решению
примера 1:
а –
сжатый стержень;
б
– поперечное сечение стержня
Условие задачи
Стержень, показанный на рис. 6.4, а, сжимается силой F = 600 кН. Сечение стержня, состоящее из двух равнополочных уголков, изображено на рис. 6.4, б. Материал стержня – сталь С235. Требуется подобрать размеры уголков так, чтобы выполнялись условия устойчивости и прочности и расход материала был минимальным. Ослабления составляют 15% площади сечения.
Решение
Сечение стержня
состоит из уголков (прокатного профиля),
поэтому используем для подбора сечения
метод последовательных попыток. Поскольку
в условии устойчивости имеем сразу две
неизвестные величины (и
),
то одной из них задаемся произвольно.
Удобно задаться
.
Тогда из условия устойчивости (6.6) найдем
Площадь одного
уголка
Из
сортамента прокатной стали выбираем
уголок, удовлетворяющий этому условию.
Отметим, что в сортаменте может быть
несколько уголков с примерно одинаковой
площадью: уголки с длинной полкой и
тонкой стенкой и уголки с короткой, но
более толстой стенкой. Выбирать следует
самые тонкие уголки, так как при одинаковой
площади радиус инерции у тонких уголков
больше и, следовательно, гибкость стержня
с сечением из тонкого уголка меньше, а
чем меньше гибкость, тем более устойчив
стержень. В рассматриваемом примере
выберем уголок 18011,
площадь которого
.
Найдем радиусы инерции относительно
главных центральных осейy
и
z,
которыми являются оси симметрии сечения
(см. рис. 6.4, б).
Следует ожидать, что радиус инерции
относительно оси y
будет минимальным, так как материал
ближе расположен к оси y,
чем к оси z.
Убедимся в этом.
Радиус инерции
одного уголка относительно оси
берем из сортамента:
,
а расстояниеа
(см. рис. 6.4, б)
сосчитаем:
Таким образом, очевидно, что
и
Теперь найдем гибкость стержня18
и из таблицы,
интерполируя, найдем
.
Проверим условие устойчивости:
Условие устойчивости
выполняется, но сечение не является
экономичным, поэтому сделаем еще попытку.
Уменьшим размеры сечения и примем самый
тонкий уголок их тех, у которых длина
полки 160 мм, а именно, уголок 16010.
,
и гибкость стержня
По таблице находим
и видим, что условие устойчивости
выполняется с небольшим запасом:
Сечение из двух
уголков 16010
можно считать экономичным19.
Условие прочности для подобранного
сечения тоже выполняется, поскольку
согласно условию
.
В заключение найдем действительный
коэффициент запаса устойчивости.
Поскольку стержень с подобранным
сечением из уголков 16010
имеет гибкость,
находящуюся в пределах между
и
,
то определяем критическую силу по
формуле Ясинского:
Действительный коэффициент запаса устойчивости
Пример 2
Условие задачи
Рис. 6.5. Сжатый
стержень
квадратного
поперечного
сечения
Решение
Поскольку размеры
сечения могут быть любыми, используем
метод последовательных приближений.
Выполним первое
приближение. Примем
.
Из условия устойчивости (6.6) найдем
площадь сечения, подставив
:
.
Поскольку
,
то
.
Найдем минимальный радиус инерции
сечения. Для квадрата любая ось является
главной и радиус инерции относительно
любой оси
.
Зная радиус инерции, вычислим гибкость стержня по формуле (6.1):
.
По таблице находим
для дерева
.
Полученное значение
еще сильно отличатся от величины
,
принятой в начале первого приближения,
поэтому выполнимвторое
приближение. Найдем
как
среднее арифметическое между
и
:
и повторим все действия, выполненные в первом приближении:
Этой гибкости
соответствует
.
Выполним еще одно,третье,
приближение:
Соответствующее
этой гибкости значение
отличается от
на 1,2 %. Такая точность достаточна,
поэтому примем
.
Для этого размера в условии устойчивости
достигнуто желаемое равенство.
В заключение
проверим условие прочности, считая
.
.