теория чисел / Алгебра / MixalevA.A.,MixalevA.V.Nachala algebry, chast1(2005)(ru)(263s)_MAt_

(n − r) × (n − r). Возьмём её строки в качестве наборов значений для свободных неизвестных и дополним их (единственно возможным способом) до решений нашей системы линейных уравнений

α1 = (c11, . . . , c1r, 1, 0, . . . , 0),

.

.

.

αn−r = (c(n−r)1, . . . , c(n−r)r, 0, 0, . . . , 1).

Эта система n − r строк-решений линейно независима (поскольку строки единичной матрицы, конечно, линейно независимы). Если

β = (β1, . . . , βn−r, βn−r+1, . . . , βn) Xодн —

произвольное решение, то

γ = β − βn−r+1α1 − . . . − βnαn−r = (γ1, . . . , γn−r, 0, . . . , 0) Xодн.

Однако, конечно,

(0, . . . , 0, 0, . . . , 0) Xодн,

при этом γ и нулевое решение имеют одинаковый набор значений для свободных неизвестных. Так как значения главных неизвестных однозначно определяются по свободным, то γ = 0, следовательно,

β = βn−r+1α1 + . . . + βnαn−r.

Итак, мы построили базис {α1, . . . , αn−r} линейного пространства решений Xодн, поэтому dim Xодн = n − r.

Замечание 9.17.2. Если вместо строк единичной матрицы En−r для свободных неизвестных брать строки всевозможных матриц

C GLn−r(K) (т. е. C Mn(K), |C| = 0), то этот алгоритм позволяет построить все базисы в Xодн.

Замечание 9.17.3. Любой базис линейного пространства решений Xодн однородной системы линейных уравнений называется в ряде алгебраических текстов «фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений».

9.18. Задание любого подпространства

в KV = Kn как пространства решений

однородной системы линейных уравнений

Пусть K — поле, u1, . . . , um K V = Kn, U = u1, . . . , um —

u1, . . . , um. Мы найдём такую матрицу A Ms,n(K), что множество решений однородной системы линейных уравнений

совпадает с U .

Если U — нулевое подпространство, то в качестве A мы можем взять любую матрицу n × n с ненулевым определителем (например, A = E). Если U = Kn (это эквивалентно тому, что dim U = n), то в качестве A мы можем взять нулевую матрицу из Ms,n, s 1. Если же 1 dim U = r(u1, . . . , um) < n, то пусть ui = (ui1, ui2, . . . , uin), 1 i m, uij K.

Рассмотрим матрицу B Mm,n(K), B = (bij ), bij = uij , 1 i m, 1 j n, и однородную систему линейных уравнений

Ясно, что r = r(B) = dim U , поэтому 1 r < n. Размерность s пространства решений Xодн этой системы равна n − r, и так как

1 r < n, то 1 s < n.

Пусть строки v1, . . . , vs Kn образуют фундаментальную систему

решений системы (9.2), vi = (vi1, . . . , vin), 1 i s, vij K. Пусть A Ms,n(K), A = (aij ), aij = vij , 1 i s, 1 j n. Покажем, что A — искомая матрица.

Действительно, по построению матрицы A любая строка из U (как линейная комбинация строк u1, . . . , um) является решением од-

т. е. U Xодн. С другой стороны,

dim Xодн = n − r(A) = n − s = n − (n − r) = r = dim U.

Следовательно, U = Xодн. В заключение отметим, что матрица A определена неоднозначно. Например, другая матрица A может быть получена с помощью

другой фундаментальной системы решений системы (9.2). Полученное задание линейных подпространств оказывается по-

лезным при решении ряда практических задач. Например, пусть u1, . . . , um Rn — линейно независимые строки, m < n. Требует-

ся найти такие строки um+1, . . . , un, что {u1, . . . , un} — базис линейного пространства Rn. Как и выше, пусть v1, . . . , vs — какая-нибудь

фундаментальная система решений системы (9.2) (в нашем случае

r(B) = m, s = n − m). Положим um+1 = v1,. . . , un = vn−m. Покажем, что {u1, . . . , un} — базис в Rn. Достаточно показать, что стро-

ки u1, . . . , un линейно независимы над R. Пусть α1, . . . , αn R и α1u1 + . . . + αnun = 0 Rn. Тогда для строки

z = α1u1 + . . . + αmum = −αm+1um+1 − . . . − αnun

имеем z U ∩ V , где V = um+1, . . . , un . Если z = (z1, . . . , zn), zi R, 1 i n, то по построению подпространств U и V (см. (9.2),

(9.3)) имеем

z.1

(z , . . . , z ) . = 0,

1 n . zn

z12 + . . . + zn2 = 0, следовательно, z1 = . . . = zn = 0, и z = 0 Rn. Значит,

α1u1 + . . . + αmum = 0( Rn) = αm+1um+1 + . . . + αnun.

= αm = 0. Строки um+1, . . . , un также линейно независимы, следо-

вательно, αm+1 = . . . = αn = 0. Итак, α1 = . . . = αn = 0 и строки u1, . . . , un линейно независимы.

Таким образом, мы рассмотрели два способа задания линейных подпространств в K V = Kn:

1)как множество решений Xодн однородной системы линейных уравнений;

2) как линейную оболочку u1, . . . , um строк u1, . . . , um

K V = Kn.

При этом мы научились переходить от первого задания ко второму (фундаментальная система решений) и от второго задания к первому. Первый способ задания удобен для задания пересечения U ∩ W подпространств (надо к первой однородной системе уравнений приписать вторую). Второй способ задания удобен для задания суммы подпространств:

u1, . . . , um + w1, . . . , wt = u1, . . . , um, w1, . . . , wt .

В следующем примере мы увидим комбинацию этих приёмов.

Пример 9.18.1. Пусть V1 = u1, u2, u3 R4 (линейная обо-

v2 = (0, 2, 1, 1), v3 = (1, 2, 1, 2)). Необходимо найти базисы линей-

ных пространств V1 + V2 и V1 ∩ V2, при этом строки u1, u2, u3, v1, v2, v3 выразить через базис пространства V1 + V2.

Решение. Запишем строки u1, u2, u3, v1, v2, v3 по столбцам и приведём полученную матрицу к ступенчатому виду с помощью эле-

Поскольку V1 + V2 = u1, u2, u3, v1, v2, v3 и элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейных соотношений меж-

ду столбцами, то {u1, u2, u3, v1} — базис в V1 + V2 (и так как dim(V1 + V2) = 4, то V1 + V2 = R4). Из ступенчатого вида мы вычисляем v2 и v3 через u1, u2, u3, v1:

поэтому v3 = 2u1 + 2u3 − v1. Проведённые вычисления равносильны завершению приведения матрицы к главному ступенчатому виду:

Рассмотрим теперь V1 ∩V2. Для этого найдём однородные системы линейных уравнений, чьи множества решений совпадают с V1 и V2

система уже имеет ступенчатый вид, x1, x2, x3 — главные неизвестные, x4 — свободная. Фундаментальная система решений состоит из одной строки (−1, 1, −1, 1). Итак, подпространство V1 совпадает

спространством решений однородной системы линейных уравнений

и мы приходим к ступенчатому виду, при этом x1, x2, x3 — главные неизвестные, а x4 — свободная. Фундаментальная система решений состоит из одной строки (−1, −1, 1, 1). Значит, однородная система линейных уравнений

задаёт подпространство V2.

x1, x2 — главные неизвестные, x3, x4 — свободные неизвестные. Фундаментальная система решений состоит из двух строк

u = (0, 1, 1, 0),

v = (1, 0, 0, 1).

Следовательно, {u, v} — базис линейного подпространства V1 ∩ V2.

9.19.Собственные числа и собственные векторы матрицы

где E Mn(K) — единичная матрица. При фиксированном λ это условие превращается в однородную систему линейных уравнений

Матрица A −λE этой системы — квадратная матрица размера n. Поэтому наличие ненулевого решения этой системы равносильно тому, что |A − λE| = 0. Пусть t — переменная,

p(t) = |A − tE| = pntn + pn−1tn−1 + . . . + p0 K[t] —

многочлен степени n от переменной t (называемый характеристическим многочленом матрицы A), при этом:

pn = (−1)n,

Мы показали, что собственные числа и только они являются корнями характеристического многочлена из поля K.

Если λ K и p(λ) = 0, то все собственные векторы матрицы A относительно собственного числа λ — это все ненулевые решения сис-

Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы A относительно собственного числа λ не образует линейного подпростран-

множеству добавить нулевой вектор, то получится линейное подпространство всех решений системы

− ˆ

(A λE)X = (0).

Таким образом, если p(λ) = |A−λE| = 0, r = r(A−λE), то 0 r < n, то размерность пространства решений этой системы равна s = n − r, поэтому 1 s n. Если {X1, . . . , Xs} — какая-либо фундаменталь-

фициентами из поля K.

Система уже имеет ступенчатый вид, x2, x3 — главные неизвестные, x1 — свободная переменная, множество собственных векторов отно-

диагональная матрица, то α1, . . . , αn — все корни характеристического многочлена матрицы A (и следовательно, собственные числа).

а) K = R: нет действительных корней многочлена p(λ) = λ2 + 1, поэтому для матрицы A нет действительных собственных чисел (и собственных векторов).

б) K = C: многочлен p(λ) имеет корни λ1 = i C, λ2 = −i C (собственные числа матрицы A).