теория чисел / Алгебра / MixalevA.A.,MixalevA.V.Nachala algebry, chast1(2005)(ru)(263s)_MAt_

Упражнение 9.6.6. Докажите, что а) dim K Mm,n(K) = mn;

б) dim R{A Mn(R) | A = A} = n(n + 1) ; 2

в) dim R{A Mn(R) | A = −A} = n(n − 1) . 2

9.7. Замена базиса линейного пространства

Пусть V — конечномерное линейное пространство над полем K,

dim V = n < ∞, {v1, . . . , vn} — базис в V , {v1, . . . , vn} — другой базис в V ,

vj = c1j v1 + c2j v2 + . . . + cnj vn, j = 1, . . . , n, cij K

(запись по столбцу!). C = (cij ) Mn(K) — матрица перехода от первого базиса ко второму.

Замечание 9.7.1. Так как умножение в поле K коммутативно, то левое линейное пространство K V можно рассматривать и как правое линейное пространство VK , полагая vλ = λv для всех λ K, v V . Тогда определение матрицы перехода может быть записано в матричном виде как

(v1, . . . , vn) = (v1, . . . , vn)C.

Ограничиваясь левыми линейными пространствами, мы можем использовать эквивалентную форму записи:

E = C E означает равенство квадратных (n × n)-матриц.

v3 = (1, −1, 1). Необходимо выяснить, образуют ли элементы v1, v2, v3 базис в R3, и если да, то найти координаты строки x = (6, 2, −7)

Строки v1, v2, v3 образуют базис в R3 тогда и только тогда, когда матрица C обратима. Если матрица C обратима, то столбец координат строки x в базисе {v1, v2, v3} равен

6

C−1 2 .

−7

Для вычисления этого столбца применим алгоритм вычисления матрицы A−1B (см. с. 182), в процессе работы которого проверяется, обратима ли матрица A = C:

Таким образом, матрица C обратима, (1, 1, 1) — координаты строки x

в базисе {v1, v2, v3}, x = v1 + v2 + v3.

Этот же результат можно было получить, используя формулу

= (1, 1, 1),

(здесь применяем элементарные преобразования столбцов).

9.10.Линейные подпространства линейных пространств

Пусть K — поле, K V — линейное пространство над полем K. Непустое подмножество = U K V называется линейным подпространством линейного пространства K V , если:

1)u1 + u2 U для всех u1, u2 U ;

2)ku U для всех k K, u U .

Ясно, что K U — линейное пространство относительно тех же операций сложения элементов и умножения на элементы из поля K, что и в линейном пространстве K V .

Если U — линейное подпространство в конечномерном линейном пространстве K V , n = dim K V < ∞, то dim K U dim K V . Действительно, если элементы u1, . . . , us K U линейно независимы в K U , то эти элементы линейно независимы и в линейном пространстве K V , s n, поэтому dim K U dim K V .

Если K U — линейное подпространство линейного простран-

ства K V , K U K V и dim K U = dim K V = n, то K U = K V . Действительно, если {u1, . . . , un} — базис линейного пространства K U

K V , то эти n элементов u1, . . . , un линейно независимы в K V и dim K V = n, поэтому {u1, . . . , un} — базис линейного пространства K V . Итак, каждый элемент v V имеет вид v = k1u1 + . . . + + knun K U , ki K, т. е. K V = K U .

212 Глава 9. Линейные пространства

9.11. Пересечение линейных подпространств

i I

Следствие 9.11.2. Если U1 и U2 — линейные подпространства линейного пространства K V , то U1 ∩ U2 — линейное подпространство в K V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащих одновременно в U1 и в U2).

9.12. Сумма линейных подпространств

Если U1 и U2 — линейные подпространства линейного пространства K V , то сумма линейных подпространств

U1 + U2 = {u1 + u2 | u1 U1, u2 U2}

также является линейным подпространством. Действительно, если

U K V

U1 U, U2 U

Замечание 9.12.2. Если U , U1, U2, U3 — линейные подпространства в K V , то

U ∩ U = U, U + U = U,

U1 ∩ U2 = U2 ∩ U1, U1 + U2 = U2 + U1,

U1 ∩ (U2 ∩ U3) = (U1 ∩ U2) ∩ U3,

U1 + (U2 + U3) = (U1 + U2) + U3,

U1 ∩ (U1 + U2) = U1, U1 + (U1 ∩ U2) = U1.

9.13.Линейная оболочка элементов линейного пространства

Пусть K V — линейное пространство, v1, . . . , vm K V . Рассмотрим

v1, . . . , vm = {k1v1 + . . . + kmvm | k1, . . . , km K} —

совокупность всех линейных комбинаций k1v1 +. . .+kmvm элементов v1, . . . , vm с коэффициентами k1, . . . , km K, называемую линейной оболочкой элементов v1, . . . , vm. Линейная оболочка v1, . . . , vm является наименьшим линейным подпространством, содержащим элементы v1, . . . , vm. Действительно,

(k1v1 + . . . + kmvm) + (l1v1 + . . . + lmvm) =

= (k1 + l1)v1 + . . . + (km + lm)vm;

k(k1v1 + . . . + kmvm) = (kk1)v1 + . . . + (kkm)vm;

если U — линейное подпространство в K V , v1, . . . , vm U , то

U KV v1,...,vm U

Замечание 9.13.1. Если 0 = v K V , то v = Kv = {kv | k K}, dim v = 1; если v = 0, v = Kv = {0}.

Замечание 9.13.2. v1, . . . , vm = Kv1 + . . . + Kvm.

Замечание 9.13.3. dim K v1, . . . , vm = r{v1, . . . , vm}; любая максимальная линейно независимая подсистема в {v1, . . . , vm} является

базисом линейного подпространства v1, . . . , vm .

Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме.

Теорема 9.13.4 (о замене). Пусть v1, . . . , vs K V — линейно

независимая система, u1, . . . , ur v1, . . . , vs , {u1, . . . , ur} — линейно независимая система элементов. Тогда r s и

v1, . . . , vs = u1, . . . , ur, vir+1 , . . . , vis ,

где

1 ir+1 < . . . < is s.

Доказательство. Так как s = dimK v1, . . . , vs , то r s. Ес-

ли r = s, то v1, . . . , vs = u1, . . . , ur . Если r < s, то найдётся vir+1 / u1, . . . , ur (индекс ir+1 — минимальный с этим свойством).

Продолжая этот процесс, построим базис {u1, . . . , ur, vir+1

в v1, . . . , vs .

Следствие 9.13.5. Пусть U , W — линейные подпространства

в K V и U W , dim K U = l, dim K W = m. Тогда l m и любой базис подпространства U можно дополнить m − l элементами до

базиса подпространства W . В частности, если U W и l = m, то

U = W .

Теорема 9.13.6 (формула размерности). Пусть U , W — линейные подпространства в K V , dim K V = n < ∞. Тогда

dim K U + dim K W = dim K (U ∩ W ) + dim K (U + W ),

или, что эквивалентно,

dim K (U + W ) = dim K U + dim K W − dim K (U ∩ W ).

Доказательство. Пусть dim K (U ∩ W ) = d, dim K U = s, dim K W = t. Ясно, что 0 d s, d t. При d = 0 утверждение очевидно (объединение базисов в U и W даёт базис в U + W ). Выберем базис v1, . . . , vd линейного пространства U ∩ W и дополним

его до базиса v1, . . . , vd, u1, . . . , us−d линейного пространства U и до базиса v1, . . . , vd, w1, . . . , wt−d линейного пространства W . Ясно, что

U + W = v1, . . . , vd, u1, . . . , us−d, w1, . . . , wt−d .

Если

λ1v1 + . . . + λdvd + µ1u1 + . . . + µs−dus−d + γ1w1 + . . . + γt−dwt−d = 0,

то

поэтому µ1 = . . . = µs−d = 0, γ1 = . . . = γt−d = 0. Следовательно, λ1 = . . . = λd = 0. Таким образом,

{v1, . . . , vd, u1, . . . , us−d, w1, . . . , wt−d} —

базис линейного подпространства U + W , откуда

s + t = d + (s − d) + d + (t − d) = d + (d + (s − d) + (t − d)),

поэтому

dim K U + dim K W = dim K U ∩ W + dim K (U + W ).

Теорема 9.13.7 (о существовании прямого дополнения подпространства). Пусть dim K V = n < ∞, U — линейное подпространство в K V . Тогда существует линейное подпространство W в K V такое, что

U + W = V, U ∩ W = {0},

(называемое прямым дополнением подпространства U в K V ; в этом случае также говорят, что линейное пространство K V является

прямой суммой линейных подпространств U и W , обозначение:

K V = U W ).

u1, . . . , ur, v1, . . . , vn−r. Пусть W = v1, . . . , vn−r . Тогда K V = U + W ,

U ∩ W = {0}.