теория чисел / Алгебра / MixalevA.A.,MixalevA.V.Nachala algebry, chast1(2005)(ru)(263s)_MAt_

Начала алгебры, часть I: алгебраические структуры; комплексные числа;

системы линейных уравнений; матрицы; определители

А. А. Михалёв, А. В. Михалёв

6.3.Свойства определителя. Базовые свойства 1—4 . . . . . 127

6.4.Вывод следствий из свойств 1—4 . . . . . . . . . . . . . 129

6.5.Линейная комбинация строк в линейном пространстве

строк Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

6.6.Вычисление определителей . . . . . . . . . . . . . . . . 133

6.7.Характеризация функции определителя матрицы базовыми свойствами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

6.8.Сведение вычисления определителя к определителям меньшего порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

6.9.Определитель Вандермонда . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Глава 7. Линейные преобразования линейных пространств столбцов, задаваемые (прямоугольной) матрицей 149

7.1.Произведение линейных отображений . . . . . . . . . . 153

7.2.Матрица произведения линейных отображений пространств столбцов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

8.1.Линейное пространство Mm,n(K) прямоугольных

матриц размера m × n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.2.Произведение матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

8.6.Многочлены от матриц, теорема Гамильтона—Кэли . . 169

8.7.Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

8.8.Нахождение обратной матрицы A−1 . . . . . . . . . . . 180

8.9.Замечания об обратимом (биективном) линейном отображении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8.10.Матричное построение поля комплексных чисел . . . . 186

9.1.Вывод свойств линейного пространства из аксиом . . . 189

9.2.Линейная зависимость в линейных пространствах . . . 191

9.3.Максимальные линейно независимые подсистемы систем элементов линейных пространств, базис

линейного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

9.5.Единственность главного ступенчатого вида матрицы . 202

9.6.Изоморфизм линейных пространств . . . . . . . . . . . 205

9.7.Замена базиса линейного пространства . . . . . . . . . 207

9.8. Обратимость матрицы перехода . . . . . . . . . . . . . 208

9.9.Замена координат элемента линейного пространства при замене базиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

9.10.Линейные подпространства линейных пространств . . 211

9.11.Пересечение линейных подпространств . . . . . . . . . 212

9.12. Сумма линейных подпространств . . . . . . . . . . . . 212

9.13.Линейная оболочка элементов линейного пространства 213

9.14.Решётка подпространств линейного пространства . . . 216

9.15.Проективная размерность подпространств и

проективная геометрия PG(K V ) . . . . . . . . . . . . . 218

9.16.Теорема о ранге матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

9.17.Размерность пространства решений однородной

системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . 225

9.18.Задание любого подпространства в K V = Kn как пространства решений однородной системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

9.19.Собственные числа и собственные векторы матрицы . 232

Глава 1

Введение: основные алгебраические структуры

В этой главе мы представим вниманию читателя основные алгебраические структуры, с которыми мы встретимся при изложении курса и при решении задач. Детальное знакомство с ними будет происходить по мере нашего продвижения и накопления фактического материала. Преимущество работы с абстрактными математическими понятиями может быть оценено лишь при необходимости рассматривать многочисленные частные примеры.

Предмет алгебры существенно менялся с течением времени: арифметические действия над натуральными и положительными рациональными числами в глубокой древности (3 век н. э.); алгебраические уравнения первой и второй степени (9 век); появление алгебраической символики (15—17 века); к 18-му веку алгебра сложилась в том объёме, который сейчас принято называть «элементарной алгеброй»; в 18—19 веках алгебра — это прежде всего алгебра многочленов; с середины 19-го века центр тяжести алгебраических исследований перемещается на изучение произвольных алгебраических операций. Изучение алгебраических структур (т. е. множеств с определёнными на них операциями) было подготовлено развитием числовых систем (построением комплексных чисел и кватернионов), созданием матричного исчисления, возникновением булевой алгебры, внешней алгебры Грассмана, исследованием групп подстановок. Таким образом, к 20-му веку сформировалась точка зрения

на современную алгебру как на общую теорию алгебраических операций (под влиянием работ Д. Гильберта, Э. Артина, Э. Нётер и с выходом в 1930 г. монографии Б. Л. ван дер Вардена «Современная алгебра»).

1.1. Алгебраические операции

Если M — непустое множество, n — натуральное число, то через M n обозначим множество упорядоченных последовательностей

(m1, m2, . . . , mn), mi M , 1 i n. Под n-арной алгебраической операцией на множестве M понимается отображение

ω : M n → M,

число n называется арностью алгебраической операции ω. Исторически сначала возникли бинарные операции (n = 2) и унарные операции (n = 1). Нульарные операции — это фиксированные элементы множества M , поскольку под M (0) понимается одноэлементное множество.

1.2. Группоиды, полугруппы, моноиды

Непустое множество M с бинарной операцией ω : M × M → M называется группоидом. Иногда нам удобнее использовать обозначение

m1 ω m2 = ω((m1, m2)), m1, m2 M.

Бинарная операция ω : M ×M → M называется ассоциативной, если

(m1 ω m2) ω m3 = m1 ω (m2 ω m3) для всех m1, m2, m3 M,

и коммутативной, если

m1 ω m2 = m2 ω m1 для всех m1, m2 M.

Упражнение 1.2.1.

1) Бинарная операция разность целых чисел

−: Z × Z → Z, (m1, m2) → m1 − m2,

не является ассоциативной и не является коммутативной.

2) Следующие бинарные операции ассоциативны и коммутативны:

2.1)

+ : N × N → N, (m1, m2) → m1 + m2

(сложение натуральных чисел);

·: N × N → N, (m1, m2) → m1m2

(умножение натуральных чисел);

2.2) пусть P(M ) — множество всех подмножеств (включая пустое) множества M ,

∩: P(M ) × P(M ) → P(M ), (A, B) → A ∩ B

(пересечение подмножеств);

: P(M ) × P(M ) → P(M ), (A, B) → A B

(объединение подмножеств);

: P(M ) × P(M ) → P(M ),

(A, B) → A B = (A \ B) (B \ A) = (A B) \ (A ∩ B)

(симметрическая разность подмножеств).

3)Пусть T (M ) = M M = {f : M → M } — совокупность всех отображений из множества M в множество M ,

◦: M M × M M → M M , (f, g) → f ◦ g,

где (f ◦ g)(m) = f (g(m)) для m M (композиция отображений). Тогда ◦ — ассоциативная операция (она является коммутативной тогда и только тогда, когда |M | = 1, т. е. M — одноэлементное множество), подробнее см. задачу 1.7.1.

4) Бинарная операция

N × N → N, (m, n) → mn

(возведение в степень) неассоциативна и некоммутативна; бинарная операция

ω : N × N → N, (m, n) → mn + nm

коммутативна, но не является ассоциативной ((1 ω 2) ω 3 =

= 1 ω (2 ω 3)).

2)Пусть f : (M1, ω1) → (M2, ω2) — изоморфизм группоидов, тогда обратное отображение

f −1 : (M2, ω2) → (M1, ω1)

также является изоморфизмом группоидов.

Доказательство.

1) Для любых x, y M1 имеем

(f2f1)(x ω1 y) = f2(f1(x ω1 y)) = f2(f1(x) ω2 f1(y)) =

f −1(z ω2 w) = f −1(f (x) ω2 f (y)) = f −1(f (x ω1 y)) =

= x ω1 y = f −1(z) ω1 f −1(w).

Следствие 1.2.3. Отношение «быть изоморфными» является от-

ношением эквивалентности на классе группоидов: (M, ω) (M, ω);

=

если (M1, ω1) (M2, ω2), то (M2, ω2) (M1, ω1); если (M1, ω1)

= = =

(M2, ω2) и (M2, ω2) (M3, ω3), то (M1, ω1) (M3, ω3).

= = =