Элементы общей топологии(1)

Пусть точка x A ∩ B. Из 1. следует, что x (U V ), поскольку x (A ∩ B) (A B) (U V ). Тогда x принадлежит хотя бы одному из множеств U и V. Допустим, что x U, откуда следует, что (U ∩ A) 6= . Из 2. следует, что пересечение множества V хотя бы с одним из множеств A и B непусто. Предположим, что (V ∩ A) 6= . Тогда

1. A (U V ).

2. A ∩ U 6= , A ∩ V 6= .

3. A ∩ U ∩ V = .

Тогда множество A несвязно, что противоречит условию. Другие альтернативы проверяются аналогично. Теорема доказана.

Определение 9.4 Наибольшее связное подмножество, содержащее данную точку a, называется связной компонентой точки a в топологическом пространстве X.

Теорема 9.3 Связные компоненты двух различных точек либо не пересекаются, либо совпадают.

Обозначим Ha и Hb связные компоненты различных точек a и b. Достаточно доказать, что если Ha ∩ Hb 6= , то связные компоненты совпадают. Если Ha ∩ Hb 6= , то из предыдущей теоремы и определения связной компоненты следует, что Ha Hb Ha. Поскольку Ha (Ha Hb), то (Ha Hb) = Ha. Аналогично Ha Hb Hb и Hb (Ha Hb), тогда (Ha Hb) = Hb. В итоге получим, что Ha = Hb.

Определение 9.5 Областью называют непустое открытое связное множество.

Определение 9.6 Замкнутой областью называют такое замкнутое множество, которое является замыканием области.

Упражнения.

1.Доказать, что если связное множество A всюду плотно в пространстве X, то X также связно.

2.Пусть A – произвольное множество в пространстве X. Доказать, что если связное в X множество B имеет непустое пересечение и с A и с его дополнением X \ A, то B пересекается и с границей множества A.

3.Доказать, что замыкание связного в пространстве X множества также связно.

4.Доказать, что топологическое пространство "стрелка" является связным пространством.

10 Отделимость

Существует целый ряд различных аксиом отделимости. Мы рассмотрим топологические пространства, удовлетворяющие аксиоме отделимости Хаусдорфа.

Определение 10.1 (Аксиома Хаусдорфа) Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если у любых двух различных точек пространства существуют непересекающиеся окрестности.

Отметим, что подпространство хаусдорфова пространства также будет хаусдорфовым. Хаусдорфовым будет также любое метрическое пространство относительно топологии, индуцированной метрикой.

Определение 10.2 Точка a называется пределом последовательности точек {an, } если для любой окрестности V точки a найдется такой номер N, что при всех n > N точки an V.

Последовательность точек топологического пространства называется сходящейся, если она имеет предел.

10

Теорема 10.1 В хаусдорфовом пространстве у любой сходящейся последовательности точек существует только один предел.

Допустим, что последовательность {an} имеет два предела: limn→∞{an} = p и limn→∞{an} = q, причем p 6= q. У точек p и q есть непересекающиеся окрествности Up и Vq. Тогда по определению предела существует такой номер N, начиная с которого все члены последовательности должны принадлежать как Up, так и Vq, что невозможно, поскольку Up ∩ Vq = .

Упражнения.

1.Доказать, что в хаусдорфовом пространстве пересечение всех замкнутых множеств, содержащих точку A, есть множество, состоящее только из этой точки A.

2.Доказать, что в хаусдорфовом пространстве всякое одноточечное множество замкнуто.

3.Доказать, что всякое пространство с дискретной топологией хаусдорфово.

4.Доказать, что всякое пространство с тривиальной топологией, содержащее более одной точки, не хаусдорфово.

5.Доказать, что "стрелка" является хаусдорфовым пространством.

11 Компактность

Определение 11.1 Семейство Σ открытых множеств топологического пространства (X, Φ) называется его открытым покрытием, если X совпадает с объединением множеств этого семейства Σ.

Определение 11.2 Топологическое пространство называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выбрать конечное открытое покрытие.

Определение 11.3 Множество M в топологическом пространстве X называется компактным, если оно является компактным подпространством пространства X.

Теорема 11.1 Для того, чтобы множество M в топологическом пространстве X было компактным, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия M множествами, открытыми

вX, можно было выделить конечное покрытие.

1.Необходимость. Пусть M компактно в (X, Φ). Возьмем произвольное покрытие множества M,

обозначив его Σ = {Gα}, где Gα Φ. Покажем, что в нем можно выделить конечное. Семейство Σ0 = {Gα ∩ M} будет открытым покрытием M в индуцированной топологии. Тогда из него можно извлечь конечное покрытие G1 ∩M, G2 ∩M, . . . , Gn ∩M. Следовательно, семейство G1, . . . , Gn будет конечным покрытием множества M, содержащимся в покрытии Σ.

2.Достаточность.Обозначим через Σ прозвольное покрытие M в индуцированной топологии. Тогда для каждого множества G Σ существует множество H Φ такое, что G = H ∩ M. Семейство всех таких множеств H является покрытием M в (X, Φ). Поскольку из него можно выделить конечное покрытие H1, H2, . . . , Hn, то покрытие G1, . . . , Gn будет конечным покрытием множества M, содержащимся в покрытии Σ.

Теорема 11.2 Если топологическое пространство X компактно, а множество F X – замкнуто, то F компактно.

Пусть Σ – произвольное открытое покрытие множества F в X. Добавив к покрытию Σ открытое множество X \ F, получим открытое покрытие Σ1 всего пространства X. В силу компактности пространства X, в Σ1 можно выделить конечное покрытие Σ2 всего пространства X. Убрав из Σ2 множество X \ F, если оно там есть, получим нужное конечное покрытие F.

Теорема 11.3 Пусть M – компактное подмножество хаусдорфова топологического пространства X и точка a / M. Тогда существуют открытые непересекающиеся множества U M и V 3 a.

11

Для любой точки x M и точки a существуют попарно непересекающиеся открытые множества Gx и Hx, такие, что x Gx, a Hx. Тогда семейство Σ = {Gx}x M есть открытое покрытие множества M в X. Так как M компактно, то из Σ можно выделить конечное покрытие Gx1 , . . . , Gxk . Рассмотрим соответствующие этим множествам парные множества Hx1 , . . . , Hxk . Нетрудно убедиться, что множества

kk

[\

будут искомыми.

Теорема 11.4 Компактное подмножество M хаусдорфова пространства X замкнуто.

Пусть точка z / M. Тогда в силу предыдущей теоремы существуют непересекающиеся открытые множества Gz и Hz такие, что M Gz и z Hz. Очевидно, что

\

M = (X \ Hz).

z /M

Так как множества X \ Hz замкнуты, то и M замкнуто.

Теорема 11.5 Всякий отрезок [a, b] числовой прямой R компактен в R.

Будем рассуждать методом от противного.

Пусть Σ = {Gα} – открытое покрытие отрезка [a, b] и пусть c – его середина. Предположим, что из Σ нельзя выделить конечного покрытия отрезка [a, b]. Тогда хотя бы один из отрезков, [a, c] или [c, b] обладает тем свойством, что из его покрытия Σ нельзя выделить конечного. Допустим, что это будет [a, c]. Переобозначим его через [a1, b1].

Обозначим середину отрезка [a1, b1] через c1 и повторим рассуждения. Получим отрезок [a2, b2] с аналогичным свойством. Повторяя рассуждения, получим бесконечную последовательность отрезков [an, bn], каждый последующий отрезок в которой вложен в предыдущий и ни один из которых не покрывается конечным подсемейством семейства Σ. Очевидно, что limn→∞ |[an, bn]| = 0, поскольку длина каждого последующего отрезка в два раза меньше длины предыдущего.

Тогда существует точка p, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности. Точка p принадлежит хотя бы одному из множеств G покрытия Σ. Так как G открыто, то, начиная с некоторого номера N, все отрезки [aN , bN ] будут принадлежать G, а значит покрываться всего лишь одним из множеств семейства Σ, а именно G. Это противоречит построению отрезков последовательности.

Теорема 11.6 В n-мерном евклидовом пространстве En n-мерный куб Kn компактен.

Доказывается аналогично предыдущей теореме с той лишь разницей, что куб Kn всякий раз делится на 2n меньших кубов.

Теорема 11.7 Для того, чтобы в n-мерном евклидовом пространстве En множество M было компактным, необходимо и достаточно, чтобы оно было замкнутым и ограниченным.

1.Необходимость. Пусть M компактно в En. Поскольку евклидово пространство является метрическим, оно хаусдорфово. По теореме 11.4 множество M замкнуто.

Покажем ограниченность множества M. Допустим противное. Рассмотрим семейство открытых концентрических шаров с центром в фиксированной точке и радиусы которых могут принимать сколь угодно большое значение. Это семейство является покрытием для всего пространства, а значит и для M. Однако из него нельзя выделить никакого конечного покрытия, что противоречит компактности M.

2.Достаточность. Пусть M замкнуто и ограничено. В силу ограниченности M содержится внутри некоторого куба Kn. Поскольку M замкнуто, а куб Kn компактен, то по теореме 11.2 множество M само является компактным.

Упражнения.

1.Доказать, что прямая с интервальной ( естественной ) топологией не является компактным пространством.1

1Она локально-компактна. ( О понятии локальной компактности смотри, например, [1].)

12

12 Непрерывные отображения

Пусть даны топологические пространства (X, Φ) и (Y, Ψ), а также отображение f : X −→ Y.

Определение 12.1 Отображение f : X −→ Y называется непрерывным в точке x X, если для каждой окрестности U точки f(x) существует окрестность V точки x такая, что f(V ) U.

Определение 12.2 Отображение f называется непрерывным на множестве A X, если f непрерывно в каждой точке множества A.

Теорема 12.1 Для того, чтобы отображение f : X −→ Y было непрерывным на X, необходимо и достаточно, чтобы полный прообраз любого множества, открытого в Y, был множеством, открытым в X.

1. Необходимость. Пусть f : X −→ Y – непрерывное отображение и V – открытое множество в (Y, Ψ). Обозначим за U полный прообраз f−1(V ) и докажем, что U открыто в (X, Φ).

Пусть a U и b = f(a). Множество V является окрестностью точки b. Так как f непрерывно, то существует окрестность Wa точки a такая, что f(Wa) V. Очевидно Wa f−1(V ) = U. Так как

[

U = Wa,

a U

то U открыто.

2. Достаточность. Пусть a X – произвольная точка и b = f(a). Если V – произвольная окрестность точки b, то U = f−1(V ) открыто и является окрестностью точки a. Поскольку f(U) = V, то f непрерывно в точке a.

Следствие 12.1 Для того, чтобы отображение f : X −→ Y было непрерывным на X, необходимо и достаточно, чтобы полный прообраз любого множества, замкнутого в Y, был множеством, замкнутытым в X.

Теорема 12.2 Пусть X, Y и Z – топологические пространства. Если отображения f : X −→ Y и g : Y −→ Z непрерывны, то отображение g ◦ f : X −→ Z также непрерывно.

Пусть W – произвольное открытое в Z множество. По предыдущей теореме множества

V = g−1(W ) и U = f−1(V ) открыты.

Так как U = (g ◦ f)−1(W ), то по теореме 12.1 композиция g ◦ f непрерывна.

Теорема 12.3 Если X – компактное топологическое пространство и f : X −→ Y – непрерывное отображение, то f(X) компактно в Y.

Пусть Σ = {Gα} – покрытие множества f(X) открытыми множествами Gα Y. В силу теоремы 12.1 каждое множество Uα = f−1(Gα) открыто в X. Семейство Σ0 = {Uα} будет открытым покрытием X.

Выбирая из Σ0 = {Uα} конечное покрытие {Ui}, i = 1, . . . , n, получаем соответственно конечное покрытие {Gi}, i = 1, . . . , n, множества f(X).

Теорема 12.4 Если X – связное топологическое пространство и f : X −→ Y – непрерывное отображение X на Y, то Y связно.

Допустим противное. Тогда существуют открытые непустые множества U1 и U2 такие, что

U1 U2 = Y и U1 ∩ U2 = .

Так как f непрерывно, то непустые множества V1 = f−1(U1) и V2 = f−1(U2) открыты и замкнуты одновременно. Поскольку V1 V2 = X, а V1 = X \ V2, то X несвязно. Полученное противоречие доказывает теорему.

Предлагаем в качестве упражнения следующие две теоремы:

Теорема 12.5 Если f – непрерывное отображение компактного топологического пространства X в хаусдорфово топологическое пространство Y, то образ f(H) любого замкнутого множества H X замкнут в Y.

13

Теорема 12.6 Если отображение f : X −→ R непрерывно, то:

Упражнения.

1.Доказать, что если отображение f : X −→ Y непрерывно и σ – база топологии Y, то

W, (W σ) = f−1(W ) открыто в X.

2.Доказать, что если при отображении f образ точки прикосновения множества A есть точка прикосновения множества f(A), то отображение f непрерывно.

3.Доказать, что постоянное отображение непрерывно.

4.Доказать, что если отображение f : X −→ Y непрерывно, то f(A) f(A).

5.Пусть f и g – непрерывные отображения топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y. Доказать, что множество тех x X, для которых f(x) = g(x), замкнуто в X.

6.Пусть f и g – непрерывные отображения топологического пространства X в хаусдорфово пространство Y. Доказать, что если f(x) = g(x) во всех точках некоторого всюду плотного в X множества, то f = g.

13 Гомеоморфизм

Пусть даны топологические пространства (X, Φ) и (Y, Ψ), а также отображение f : X −→ Y.

Определение 13.1 Отображение f : X −→ Y называется гомеоморфизмом, если f обратимо и отображения f и f−1 непрерывны.

Тождественное преобразование топологического пространства на себя очевидным образом является гомеоморфизмом.

Теорема 13.1 Пусть X, Y и Z – топологические пространства. Если отображения f : X −→ Y и g : Y −→ Z – гомеоморфизмы, то отображение g ◦ f : X −→ Z также будет гомеоморфизмом.

Доказательство следует из определения гомеоморфизма и теорем о свойствах непрерывных отображений.

Теорема 13.2 Для того, чтобы биективное отображение f топологического пространства X на топологическое пространство Y было гомеоморфизмом, небходимо и достаточно, чтобы образ любого множества A, открытого в X, был множеством, открытым в Y, и чтобы прообраз любого множества B, открытого в Y, был множеством, открытым в X.

Следует из признака непрерывности (теоремы 12.1)

Определение 13.2 Говорят, что топологическое пространство (X, Φ) гомеоморфно топологическому пространству (Y, Ψ), если существует гомеоморфизм f : X −→ Y.

Легко проверить, что отношение гомеоморфности рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит является отношением эквивалентности. Учитывая это, о гомеоморфных топологических пространсвах говорят, что они топологически эквивалентны.

Рассмотрим все гомеоморфные отображения топологического пространства X на себя. Их называют гомеоморфными преобразованиями топологического пространства X.

Теорема 13.3 Множество гомеоморфных преобразований топологического пространства X является группой.

Доказательство этой теоремы очевидно. Эту группу называют также группой гомеоморфизмов топологического пространства X.

В математике часто рассматриваются пространства, на которых помимо топологии заданы и другие структуры. Такими являются, например, аффинные и евклидовы пространства. Тогда можно говорить о тех свойствах геометрических фигур, которые сохраняются при гомеоморфизмах.

14

Определение 13.3 Свойства геометрических фигур, которые сохраняются при гомеоморфизмах, называют топологическими свойствами.

Топологические свойства геометрических фигур иначе называют топологическими инвариантами.

Теорема 13.4 Пусть X – компактное топологическое пространство, Y – хаусдорфово, а отображение f : X −→ Y – непрерывная биекция. Тогда f – гомеоморфизм.

Достаточно доказать, что отображение f−1 непрерывно. Для этого достаточно показать, что образ любого множества, замкнутого в X, замкнут в Y. Итак, пусть F X замкнуто и H = f(F ). Тогда, поскольку F замкнуто, а X компактно, то F также компактно. Поскольку f непрерывно, то H = f(F ) также компактно в Y, а Y хаусдорфово. Компактное множество H в хаусдорфовом пространсте Y замкнуто. Теорема доказана.

Упражнения.

1.Доказать, что любые два интервала (a, b) и (c, d) гомеоморфны.

2.Доказать, что любой интервал (a, b) гомеоморфен числовой прямой.

3.Доказать, что окружность и прямая не гомеоморфны.

4.Доказать, что прямая и плоскость не гомеоморфны.

5.Доказать, что окружность с удаленной точкой гомеоморфна числовой прямой.

6.Доказать, что сфера в E3 с удаленной точкой гомеоморфна плоскости.

Список литературы

[1]Бурбаки Н. Общая топология.Основные структуры М: Наука, 1968.

[2]Энгелькинг Р. Общая топология. М: Мир, 1986.

[3]Куратовский К. Топология. Т.1,2. М: Мир, 1966.

[4]Келли Дж. Общая топология. М: Наука, 1968.

[5]Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М: Высшая школа, 1979.

[6]Борисович Ю.Г., Близняков Н.М., Израилевич Я.А., Фоменко Т.Н. Введение в топологию. М: Высшая школа, 1980.

[7]Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы топологии и дифференциальной геометриии. М: Просвещение, 1985.

[8]Вернер А.Л., Кантор Б.Е., Франгулов С.А. Геометрия. Т.1,2 СПб.: Специальная Литература, 1997.

[9]Дьедонне Ж. Основы современного анализа. М: Мир, 1964.

[10]Шварц Л. Анализ.Т.1 М: Мир, 1972.

[11]Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М: Мир, 1983.

[12]Бакельман И.Я., Вернер А.Л., Кантор Б.Е. Элементы гомотопической топологии и их приложения. Ч.1, Л: ЛГПИ, 1972.

15