Лекции 3-4. Построение множества целых чисел.

Рассмотрим множество (декартов квадрат множества натуральных чисел).

На множестве введем отношение по следующему правилу:

.

Теорема 1. Отношение  на множестве есть отношение эквивалентности (рефлексивно, симметрично, транзитивно).

Доказательство.

Отношение  рефлексивно (?)

.

Отношение  симметрично (?)

.

Отношение  транзитивно (?)

.

что и требовалось доказать.

Поскольку отношение  является отношением эквивалентности, имеют место классы эквивалентности:

.

Определение. Целыми числами назовем элементы фактормножества .

Сложение и умножение целых чисел.

Определим на множестве целых чисел действия сложения и умножения по следующим правилам:

.

Теорема 2. Действия сложения и умножения целых чисел являются бинарными операциями на фактормножестве .

Доказательство.

- бинарная операция (?)

Сложение определено , т.к. определено сложение любых натуральных чисел. Покажем однозначность.

.

- бинарная операция (?)

Умножение определено , т.к. определено сложение и умножение любых натуральных чисел. Покажем однозначность.

.

Поскольку в силу того, что сумма и произведение натуральных чисел также являются натуральными числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.

что и требовалось доказать.

Кольцо целых чисел.

Теорема 3. - целостное кольцо, т.е. коммутативное кольцо с единицей, не содержащее делителей нуля.

Доказательство.

Проверим аксиомы кольца.

1) (ассоциативность +) (?)

.

2) (коммутативность +) (?)

.

3) (существование 0) (?)

, где - произвольное натуральное число.

4) (существование противоположного) (?)

.

5) (ассоциативность ) (?)

6) (коммутативность) (?)

.

7) (существование 1) (?)

, где - произвольное натуральное число.

8) (дистрибутивность) (?)

9) (отсутствие делителей 0) (?)

, где - произвольное натуральное число, в силу произвольности. Таким образом,.

что и требовалось доказать.

Вложение полукольца натуральных чисел в кольцо целых.

Договоримся обозначать множество целых чисел через .

Теорема 4. Полукольцо натуральных чисел изоморфно вкладывается в кольцо целых чисел.

Доказательство.

Рассмотрим множество . Покажем, чтоподалгебра алгебры.

замкнуто относительно сложения и умножения (?)

Рассмотрим соответствиезаданное по правилу .

- отображение (?)

Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого натурального числа можно построить класс.

Однозначность:(?)

ъ

- биекция (?)

Инъективность: (?)

.

Сюръективность: (?)

Возьмем , поскольку. В силу произвольности сюръективность доказана.

- гомоморфизм (?)

Сохранение операции сложения: (?)

Сохранение операции умножения: (?)

Таким образом доказано, что алгебра изоморфна подалгебреалгебры, следовательно,изоморфно вкладывается в.

что и требовалось доказать.

Замечание. Поскольку полукольцо натуральных чисел вкладываются в кольцо целых чисел, то отождествим элементы и, т.е. будем считать их (тождественно) равными. Ввиду этого отождествления получим.

Строение кольца целых чисел.

Теорема 5. ,где

Доказательство.

Очевидно, что . Покажем обратное включение.

Возьмем произвольное целое число . Тогда возможен один из следующих случаев:

1.;

2. ;

3. ;

.

что и требовалось доказать.

Теорема 6. Кольцо целых чисел единственное.

(без доказательства)

Замечание. Теорема 6 доказывает категоричность системы целых чисел.