Понятия наибольшего и наименьшего элементов некоторого множества. Теоремы о существовании наибольшего и наименьшего элементов в подмножестве множества натуральных чисел.

Определение. Наибольшим элементом непустого подмножества линейно упорядоченного множестваназывается элементтакой, что.

Определение. Наименьшим элементом непустого подмножества линейно упорядоченного множестваназывается элементтакой, что.

Теорема 7. Любое непустое подмножество множества натуральных чисел имеет наименьший элемент.

Доказательство.

Возможны случаи:

• - наименьший элемент подмножества;

• . Рассмотрим множество ., т.к.

. . Такой элементобязательно найдется, т.к. в противном случае. Покажем, чтонаименьший в.. Предположим, что. Тогда. Последнее противоречит условию , следовательно, предположение неверно. Тогдатакой, что. Таким образом, - наименьший в.

что и требовалось доказать.

Теорема 8. Любое непустое ограниченное сверху подмножество множества натуральных чисел имеет наибольший элемент.

Доказательство.

Пусть ограничено сверху элементом, т.е.. Рассмотрим множество., т.к.. Тогда, по теореме 3,имеет наименьший элемент, причем, т. к. в противном случае. По следствию 4) из аксиом Пеано,. Предположим, что, следовательно,. Последнее противоречит тому, что - наименьший в, а, значит, предположение неверно. Тогда. Таким образом,- наибольший в.

что и требовалось доказать.

Іі и ііі формы метода математической индукции для натуральных чисел.

Теорема 9 (ІІ форма): Если утверждение о натуральных числах верно для 1 и для произвольного натурального числа, большего 1, из верности утверждениядля всех натуральных чисел, меньших, следует верность утверждения для числа, то утверждение верно для каждого натурального числа.

Доказательство.

Предположим, что . Рассмотрим множество., т.к.. Тогда, по теореме 3,имеет наименьший элемент, причем,. По следствию 4) из аксиом Пеано,, причем., т.к. в противном случае,не будет наименьшим в. Тогда, согласно индуктивному предположению,, но это противоречит условию. Таким образом, предположение неверно, и.

что и требовалось доказать.

Теорема 10 (ІІІ форма): Если утверждение о натуральных числах верно для всех чисел некоторого непустого неограниченного сверху подмножества множества натуральных чисел и из верности утверждениядля произвольного натурального числаследует верность утверждения для натурального числа, то утверждение верно для каждого натурального числа.

Доказательство.

Предположим, что . Рассмотрим множество., т.к.. Такжеограничено сверху любым элементом из. Тогда, по теореме 4,имеет наибольший элемент, причем. Рассмотрим элемент., т.к. в противном случае,не будет наибольшим в. Согласно индуктивному предположению,, но это противоречит условию. Таким образом, предположение неверно, и.

что и требовалось доказать.

Архимедовская расположенность полукольца натуральных чисел.

Теорема 11. Полукольцо натуральных чисел является архимедовски расположенным, т.е. выполняются следующее условие (аксиома Архимеда): для любых натуральных чисел a,b a<nb для некоторого натурального n.

Доказательство.

.

что и требовалось доказать.

Теорема 12. Полукольцо натуральных чисел не является всюду плотным.

Доказательство.

Для доказательства этого утверждения достаточно показать, что натуральные числа иявляются соседними. Предположим обратное: пустьтакое, что. Тогда. Последнее противоречит условию. Следовательно, предположение неверно.

что и требовалось доказать.