Сложение натуральных чисел.

Определение: Сложением натуральных чисел называется соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. .

Назовем условия 1 и 2 аксиомами сложения.

Теорема 1. Сложение на множестве натуральных чисел является бинарной операцией, существует и притом единственное.

Доказательство.

- бинарная операция (?)

Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , чтоявляется отображением.

База индукции :

и определено и однозначно, поскольку- отображение.

Индуктивное предположение :

Пусть определено и однозначно.

Покажем справедливость утверждения для :

определено и однозначно (?)

. Поскольку определено и однозначно, а- отображение,также определено и однозначно.

Также методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по устанавливает существование и единственность операции.

Операция единственна (?)

Предположим, что наряду с операцией существует операция, удовлетворяющая аксиомам сложения:

1. ;

2. .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Пусть .

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

, что противоречит предположению.

Таким образом, , следовательно,.

Операция существует (?)

Рассмотрим систему множеств , где. Индукцией подокажем, что существует отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. .

База индукции :

Определим по правилу:

.

Очевидно, что таким образом определенное существует, причем

1. ;

2. .

Индуктивное предположение :

Пусть существует и удовлетворяет условиям:

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

Определим по правилу:

.

Определим операцию по правилу. Доказано, чтосуществует и удовлетворяет аксиомам сложения, следовательно, существует и отображение, удовлетворяющее аксиомам сложения.

что и требовалось доказать.

Замечание. Поскольку операция , удовлетворяющая аксиомам сложения, единственна на множестве натуральных чисел, для нее введем специальный символ+, т.е..

Свойства операции сложения на множестве натуральных чисел:

1) .

Доказательство.

.

2) .

Доказательство.

.

3) (ассоциативность).

Доказательство.

Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

.

4) (коммутативность).

Доказательство.

Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

.

5) (закон сокращения).

Доказательство.

Проведем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

.

Умножение натуральных чисел.

Определение. Умножением натуральных чисел называется соответствие , удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. .

Назовем условия 1 и 2 аксиомами умножения.

Теорема 2. Умножение на множестве натуральных чисел является бинарной операцией, существует и притом единственное.

Доказательство.

- бинарная операция (?)

Докажем методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по , что является отображением.

База индукции :

и определено и однозначно.

Индуктивное предположение :

Пусть определено и однозначно.

Покажем справедливость утверждения для :

определено и однозначно (?)

. Поскольку определено и однозначно, а- операция,также определено и однозначно.

Также методом математической индукции в І форме для натуральных чисел по устанавливает существование и единственность операции .

Операция единственна (?)

Предположим, что наряду с операцией существует операция , удовлетворяющая аксиомам сложения:

1. ;

2. .

База индукции :

.

Индуктивное предположение :

Пусть .

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

, что противоречит предположению.

Таким образом, , следовательно,.

Операция существует (?)

Рассмотрим систему множеств , где. Индукцией подокажем, что существует отображение, удовлетворяющее следующим условиям:

1. ;

2. .

База индукции :

Определим по правилу:

.

Очевидно, что таким образом определенное существует, причем

1. ;

2. .

Индуктивное предположение :

Пусть существует и удовлетворяет условиям:

Покажем справедливость утверждения для :

(?)

Определим по правилу:

.

Определим операцию по правилу. Доказано, чтосуществует и удовлетворяет аксиомам умножения, следовательно, существует и отображение, удовлетворяющее аксиомам умножения.

что и требовалось доказать.

Замечание. Поскольку операция , удовлетворяющая аксиомам умножения, единственна на множестве натуральных чисел, для нее введем специальный символ, т.е..