Геометрическая интерпретация чисто мнимых кватернионов

Определение. Кватернион называется чисто мнимым, если его действительная часть равна нулю.

Если - чисто мнимый кватернион, то.

правая тройка:

- правоориентированный ортонормированный базис

Умножение чисто мнимых кватернионов:

, где , причем,,. Докажем эту формулу:

.

Следствие. Произведение чисто мнимых кватернионов является чисто мнимым т.т.т. когда соответствующие им вектора взаимно перпендикулярны.

Доказательство.

Если , тоявляется чисто мнимым кватернионом т.т.т. когда, а последнее выполняется т.т.т., к..

что и требовалось доказать.

Лекция 12. Ассоциативные алгебры.

Определение. Алгеброй А над полем К или К-алгеброй называется линейное пространство А над полем К, в котором определена бинарная операция умножения векторов, удовлетворяющая следующим аксиомам:

Определение. Алгебра А над полем К называется ассоциативной, если

Определение. Алгебра А над полем К называется коммутативной, если

Определение. Алгебра А над полем К называется алгеброй с делением, если

разрешимы уравнения и

Определение. Рангом алгеброй А над полем К называется размерность линейного пространства А над полем К в случае его конечномерности.

Примеры:

1. - алгебра квадратных матрицn-ого порядка над полем К, где .

2. - алгебра над полемR, где .

3. - алгебра над полем, где.

Определение. Алгебры А и В над полем К называются изоморфными, если существует биективное отображение ,удовлетворяющее условиям:

Пример. Алгебра квадратных матриц n-ого порядка над полем К и линейное пространство линейных операторов n-мерного линейного пространства над полем К (каждому оператору можно поставить в соответствие его матрицу в некотором фиксированном базисе).

Теорема Фробениуса.

Теорема Фробениуса. Единственными с точностью до изоморфизма конечномерными ассоциативными алгебрами с делением над полем действительных чисел являются алгебры .

Доказательство.

Пусть - конечномерная ассоциативная алгебра с делением над полем действительных чисел и. Возможны случаи:

1. . Тогда.

2. . Тогда в алгебреесть хотя бы один элемент, который не является действительным числом. Обозначим этот элемент через. Всуществует неприводимый многочлен, корнем которого является. Поскольку наивысшая степень неприводимого многочлена с действительными коэффициентами над полнм действительных чисел равна 2 и элемент, а, значит, не может быть корнем ни непостоянного многочлена, ни многочлена первой степени, то.

Пусть . Так как, то. Выделим полный квадрат в левой части. Получим. Поскольку многочленнеприводим, то.

Рассмотрим число , причем,. Тогда в алгебресистемаявляется линейно независимой, а, значит,в случае.

3. . Тогда в алгебренайдется еще один элементтакой, что системалинейно независима и- корень подходящего неприводимого многочленавторой степени. Аналогично пункту 2 формируется элемент, который также удовлетворяет условиями.

Поскольку системалинейно независима.

Рассмотрим пару элементов и. Оба элемента не принадлежат полю действительных чисел, а, значит, является корнями неприводимых над полем действительных чисел многочленов с действительными коэффициентамиисоответственно. Тогда

Заменив ина -1 и сложив уравнения системы, получим

.

Поскольку система линейно независима, тои. Возвращаясь к исходному соотношению, получим.

Введем число . Рассмотрим число

Зная, что , введем число. Посколькусистемалинейно независима. Вычислим. Таким образом получается, что нашлась линейно независимая систематакая, чтои.

Обозначим через . Покажем, что системалинейно независима. Поскольку ранее установлена линейная независимость, то остается показать, чтолинейно не выражается через. Предположим, что, где.

, так как . Тогда

, где . Последнее противоречит линейной независимости элементов, следовательно,линейно не выражается черези системалинейно независима.

Нетрудно проверяется, что элементы относительно умножения образуют следующую таблицу:

Например, .

Таким образом, в случае.

4. . Тогда существует элемент.

Предположим, что линейно не выражается через, т.е.- линейно независима. Пусть.

Найдем произведение

. Умножим последнее равенство на . Получим, где, что противоречит линейной независимости системы. Следовательно, системалинейно зависима.

Таким образом, не может быть больше 4, а, значит, размерности всех конечномерных алгебр над полем действительных чисел совпадают с одним из чисел 1, 2, 4.

что и требовалось доказать.