Лекция 11. Тело кватернионов.

Открыл Уильям Роуан Гамильтон (ирландец) 1805-1865.

Определение. Ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый элемент, отличный от нуля, обратим, называется телом.

Рассмотрим множество матриц:

,

где - множество квадратных матриц с коэффициентами из поля комплексных чисел.

Теорема 1. тело.

Доказательство.

Покажем, что - подкольцо кольца, используя признак подкольца:

.

- кольцо с единицей (?)

Элемент является нейтральным элементом по сложению, поскольку.

Проверим, что любой ненулевой элемент кольца обратим:

или .. Из последнего следует, что любая ненулевая матрица невырожденная, следовательно, она обратима в кольце . Найдем обратную:

.

что и требовалось доказать.

Определение. Тело назовем телом кватернионов, а его элементы кватернионами.

Теорема 2. Поле комплексных чисел изоморфно вкладывается в тело кватернионов.

Доказательство.

Рассмотрим соответствие , заданное по правилу.

Докажем, что - изоморфизм.

- отображение (?)

Всюду определенность очевидна, поскольку для каждого комплексного числа можно построить матрицу.

Однозначность:(?)

.

- биекция (?)

Инъективность: (?)

.

Сюръективность: (?)

Возьмем , поскольку. В силу произвольности сюръективность доказана.

- гомоморфизм (?)

.

что и требовалось доказать.

Замечание. Ввиду изоморфизма, который отмечен в конце доказательства, мы проведем отождествление кватерниона с комплексным числом .Ввиду этого отождествления получим (подмножество, более того, подтело).

Алгебраическая форма кватернионов.

Определение. Пусть , где,. Тогда

- алгебраическая форма кватерниона, где и ,, . Таким образом, каждому кватерниону можно поставить в соответствие упорядоченный набор их 4-х элементов:

Нетрудно заметить следующее:

.

Более того, если рассматривать тело как векторное пространство над полем, то каждый кватернион есть вектор с координатами . Тогда следующие кватернионы образуют базис:

1=(1,0,0,0) - действительная единица

i=(0,1,0,0)

j=(0,0,1,0)

k=(0,0,1,0).

Определение. Кватернионы i, j, k называются мнимыми кватернионами тела кватернионов.

Замечание. Тело кватернионов не является полем, поскольку не коммутативно, что и подтверждает следующая таблица умножения базисных кватернионов:

1\2	1	i	j	k
1	1	i	j	k
i	i	-1	k	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Для того, чтобы перемножить два кватерниона в алгебраической форме, необходимо воспользоваться правилом умножения сумм, учитывая некоммутативность , используя таблицу умножения базисных кватернионов, а затем привести подобные.

Определение. Сопряженным к кватерниону называется кватернион.

Следствие. .

Определение. Нормой кватерниона называется.

Следствие 1. , где,.

Следствие 2. Если , то.

Свойства сопряженных и нормы.

Теорема 3. Для любых кватернионов исправедливы следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. Если , то.

Доказательство.

Пусть и.

1. .

2. .

3. 

4. .

5. , .

6. Аналогично 5.

7. .

8. 

что и требовалось доказать.