Алгебраическая форма записи комплексного числа.

,

где .

Определение. - алгебраическая форма записи комплексного числа, причем единственная.

Предложение 1. для любого.

Определим действия сложения и умножения на множестве комплексных чисел, заданных в алгебраической форме:

Определение. Сопряженным к комплексному числу называется комплексное число.

Свойства сопряженных комплексных чисел:

1. ;

2. ;

3. ;

4. т.т.т.,к.;

5. для любого.

Определение. Нормой комплексного числа называется число.

Замечание. .

Свойства нормы:

1. ;

2. т.т.т.,к.;

3. ;

4. если , то.

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Пусть .

Каждому комплексному числу ставится в соответствие точкав прямоугольной системе координат.

Если и, то. При этом.

Тригонометрическая форма записи комплексного числа возникает из геометрической интерпретации. Так, каждой точке можно поставить в соответствие радиус-вектор, который определяется длинойи направлением – угломотклонения от положительного направления оси.

Замечание. ,,.

Таким образом . Последняя запись и есть тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Предложение 2. Если , тодля каждого.

Доказательство.

Пусть ,. Тогда

. Последнее равенство и дает основание утверждать справедливость данной теоремы.

что и требовалось доказать.

Замечание. .

Корни - ой степени из единицы

Определение. Комплексное число называется корнем- ой степени из единицы, где, если.

Вычислим все корни - ой степени из единицы. Пусть. Зная, что, составим систему:. Тогдаи любой корень- ой степени из единицы будет иметь вид:.

Покажем, что существует ровно различных корней- ой степени из единицы. Для этого поделимнас остатком, получим, где. Следовательно,. Посколькуможет принимать только одно иззначений, то и различных корней- ой степени из единицы также будет ровноштук, причем, где.

Теорема 3. Корни - ой степени из единицы образуют мультипликативную циклическую группу.

Доказательство.

Пусть - всех корней- ой степени из единицы. Очевидно, что. Тогдазамкнуто относительно умножения.

Операция умножения во множестве ассоциативна;- нейтральный элемент в;.

Таким образом, группа, в которой элементявляется порождающим, так как, следовательно,- мультипликативная циклическая группа.

что и требовалось доказать.

Определение. Комплексное число называется корнем- ой степени из ненулевого комплексного числа, где, если.

Вычислим все корни - ой степени из комплексного числа. Пусть,. Зная, что, составим систему:. Тогдаи любой корень- ой степени из комплексного числабудет иметь вид:.

Покажем, что существует ровно различных корней- ой степени из комплексного числа. Для этого поделимнас остатком, получим, где. Следовательно,

. Поскольку может принимать только одно иззначений, то и различных корней- ой степени из комплексного числатакже будет ровноштук, причем, где.

Замечание. Для каждого справедливо

.

Следствие. Все корни - ой степени из ненулевого комплексного числаявляются результатом умножения одного из этих корней на корни- ой степени из единицы.

Пример. Найти все корни 3 – ей степени из -8.

Очевидно, что -2 – один из искомых корней. Тогда, согласно вышеприведенному следствию,

,

,

.

Теорема 5. Поле комплексных чисел не является упорядоченным.

Доказательство.

Предположим, что упорядоченное поле с положительным конусом. Согласно аксиомам положительного конуса, для элементасправедливо одно из следующих условий:

1. , что противоречит;

2. , что противоречит;

3. , что противоречит.

Таким образом, ни одно из трех условий не выполняется, следовательно, предположение о существовании положительного конуса ложно, и, значит, не является упорядоченным полем.

что и требовалось доказать.