Эквивалентные последовательности рациональных чисел и их свойства.

Определение. Две фундаментальные последовательности рациональных чисел называются эквивалентными, еслиявляется нулевой последовательностью, иначе.

Теорема 5. Отношение ≈ на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел является отношением эквивалентности.

Доказательство.

Обозначим множество всех последовательностей рациональных чисел через .

1. Рефлективность (?)

.

2. Симметричность (?)

3. Транзитивность (?)

.

что и требовалось доказать

Теорема 6. Любая подпоследовательность фундаментальной последовательности эквивалентна ей.

Доказательство.

Пусть - ф.п.р.ч.,- произвольная подпоследовательность последовательности. Тогда- монотонно возрастающая функция на множестве натуральных чисел. Покажем, что.

В силу фундаментальности последовательности имеем. Учитывая это, получим

.

что и требовалось доказать

Теорема 7. Фундаментальная последовательность рациональных чисел, эквивалентная нулевой, положительной, отрицательной является соответственно нулевой, положительной, отрицательной.

Доказательство.

Пусть и . Тогда - нулевая.

1. - нулевая.

- нулевая как сумма нулевых ф.п.р.ч.

2. - положительная.

Возьмем . Тогда получим

- положительная.

3. - отрицательная.

Нетрудно проверяется, что . Тогда- положительная, следовательно, согласно пункту 2 этой теоремы- положительная, а, значит,- отрицательная ф.п.р.ч.

что и требовалось доказать

Теорема 8. Отношение ≈ стабильно относительно операции сложения, умножения и взятия противоположного на множестве всех фундаментальных последовательностей рациональных чисел.

Доказательство.

Пусть . Тогдаи- нулевые ф.п.р.ч.

Отношение ≈ стабильно относительно операции сложения (?)

Поскольку сумма нулевых последовательностей является нулевой, имеем- нулевая ф.п.р.ч., а значит.

Отношение ≈ стабильно относительно операции умножения (?)

Последовательности фундаментальные, следовательно, ограниченные, предположим, числамисоответственно. Зная, чтоинулевые ф.п.р.ч. имеем

. Выберем .Тогда . Принимая во внимание выше перечисленное, оценим

. Последнее влечет, что является нулевой, а, значит,.

Отношение ≈ стабильно относительно операции взятия противоположного (?)

что и требовалось доказать

Лекции 8-9. Построение множества действительных чисел.

Поскольку ≈ - есть отношение эквивалентности на множестве , имеют место классы эквивалентности:

.

Определение. Действительными числами назовем элементы фактормножества .

Определим на множестве действительных чисел действия сложения и умножения по следующим правилам:

,

.

Теорема 1. Сложение и умножение являются бинарными операциями на множестве .

Доказательство.

Сложение и умножение определены, т.к. определены сложение и умножение любых рациональных чисел.

Согласно теореме 8, приведенной в лекциях 7, а также условию , однозначность доказана.

Поскольку в силу того, что сумма и произведение рациональных чисел также являются рациональными числами, множество замкнуто относительно сложения и умножения.

что и требовалось доказать.