Операции над последовательностями рациональных чисел.

Определение. Суммой последовательностей иназывается последовательность, полученная в результате сложения соответствующих членов этих последовательностей, т.е..

Определение. Произведением последовательностей иназывается последовательность, полученная в результате умножения соответствующих членов этих последовательностей, т.е..

Замечание. Разностью последовательностей иявляется сумма последовательностейи.

Теорема 2. Сумма, произведение и разность сходящихся последовательностей рациональных чисел является сходящейся последовательностью.

Доказательство.

Поскольку предел суммы, произведения, разности сходящихся последовательностей равен соответственно сумме, произведению, разности пределов этих последовательностей, теорему можно считать доказанной.

что и требовалось доказать.

Свойство 4 ф.п.р.ч. Сумма, произведение и разность фундаментальных последовательностей рациональных чисел является фундаментальной последовательностью.

Доказательство.

Докажем теорему сначала для фундаментальных последовательностей.

Пусть и- фундаментальные последовательности рациональных чисел. Тогда. Полагая, получим,. Оценим:

.

Последнее неравенство справедливо в силу свойства 3 ф.п.р.ч. оо ограниченности любой ф.п.р.ч.. Следовательно, последовательность является фундаментальной.

Аналогично устанавливается фундаментальность последовательности.

Последовательность фундаментальна,поскольку и всякая постоянная последовательность рациональных чисел фундаментальна..

что и требовалось доказать

Определение. Частным двух последовательностей ипри условии, что среди членов последовательностиотсутствуют числа, равные нулю, называется последовательность.

Свойство 5 ф.п.р.ч. Частным фундаментальных последовательностей ирациональных чисел при условии, что среди членов последовательностиотсутствуют числа, равные нулю, ине сходится к нулю, является фундаментальной последовательностью рациональных чисел.

Доказательство.

Поскольку не сходится к нулю, то найдется положительное рациональное числои натуральное такие, что . Поскольку последовательностиифундаментальны, имеем:

- ограниченная, следовательно, ;

.

Выберем . Тогда

что и требовалось доказать

Нулевые, положительные, отрицательные последовательности рациональных чисел.

Определение. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к 0, называется нулевой последовательностью.

Следствия из определения:

1. Любая нулевая последовательность рациональных чисел является ф.п.р.ч.

2. Любая подпоследовательность нулевой последовательности является нулевой.

3. Произведение, сумма и разность нулевых последовательностей является нулевой.

4. Множество всех нулевых последовательностей образует подкольцо в кольце всех ф.п.р.ч.

Определение. Последовательность рациональных чисел называется положительной, если.

Определение. Последовательность рациональных чисел называется отрицательной, еслибудет положительной.

Следствие. Любая подпоследовательность положительной (отрицательной) последовательности будет положительной.

Теорема 3. Сумма и произведение положительных последовательностей рациональных чисел является положительной последовательностью рациональных чисел.

Доказательство.

Пусть и- положительные последовательности рациональных чисел, что влечет

.

Пусть . Тогда.Последовательно складывая и умножая последние неравенства, получим . Поскольку, а - произвольное, большеечисло, последовательностииположительны.

что и требовалось доказать

Теорема 4. Если фундаментальные последовательности ине являются положительными, тогда фундаментальная последовательностьбудет нулевой.

Доказательство.

По условию ине являются положительными, следовательно,. Учитывая фундаментальность последовательностейи, можно выбратьнастолько большим, чтобы выполнялись неравенства:

Тогда

Выбрав , получимдля сколь угодно малого, а это возможно лишь в одном случае, еслиявляется нулевой последовательностью рациональных чисел.

что и требовалось доказать

Следствие. Если - ф.п.р.ч., тогда либоположительна, либоположительна, либо- нулевая.