8. Задача 12.

Найдите производную.

Пример.

Решение: Составим схему структуры данного выражения (рис 7)

Рис. 7 Схема

Ответ:

9. Задача 13.

Найдите производную.

Пример.

Решение:

Воспользуемся схемой структуры данной функции (рис. 8).

Рис. 8 Схема

Ответ:

10. Задача 14.

Найдите производную.

Пример.

Решение: Составим схему структуры данной функции (рис. 9)

Рис. 9 Схема

Ответ:

3. Дифференциал

   1. Задача 3.

Найдите дифференциал

Дифференциал функции находится по формуле:

Пример.

Решение:

Найдем производную данной функции

;

Для нахождения дифференциала данной функции умножаем производную на дифференциал независимой переменной:

Ответ: .

2. Задача 4.

Вычислите приближенно с помощью дифференциала.

Если , тои

Примеры:

1. Решение: ;Ответ:

2. Решение: , , Ответ:

4. Производные высших порядков.

   1. Задача 17.

Найдите производную n-го порядка.

Для выполнения этого задания необходимо воспользоваться таблицей производных n-го порядка некоторых функций (смотрите приложение В).

Примеры.

1. 

Решение:

………………………………………

Ответ:

2. 

Решение:

Ответ:

3. 

Решение:

Ответ:

4. 

Решение:

…………………………………….

Ответ:

5. 

Решение:

………………………………………

Ответ:

6. 

Решение:

………………………………………

Ответ:

7. 

Решение:

………………………………

Ответ:

8. 

Решение:

………………………………

Ответ:

2. Задача 18.

Найдите производную указанного порядка.

Воспользуемся формулой Лейбница

Пример.

Решение:

Обозначим тогдаи можно воспользоваться формулой Лейбница.

Запишем формулу Лейбница для производной 4-го порядка:

Ответ:

5. Производные функций, заданных параметрически

   1. Задача 15.

Найдите производную .

Если функция от независимой переменнойзадана с помощью вспомогательной переменной (параметра):

то производная от у по х определяется по формулам:

(1)

Примеры.

1.

Решение: Находим ии полученные значения подставляем в формулу (1)

,

,

Ответ:

2.

Решение:

Находим ии полученные результаты подставляем в формулу (1)

Ответ:

2. Задача 19.

Найти производную второго порядка от функции заданной параметрически.

Для нахождения второй производной используют следующую формулу

(2)

Пример.

Решение:

Находим производные от x и y по параметру t:

Искомая производная от y по x находится как отношение производных от y и от x по t:

Далее находим производную по формуле (2)

Ответ:

6. Уравнения касательной и нормали к кривой в точке

   1. Задача 2.

Составить уравнения нормали и касательной в точке с абсциссой .

Если кривая определена уравнением , то уравнение касательной и нормали к ней в точке М с координатамиимеет соответственно вид

(3)

(4)

Этапы выполнения задания:

1. Подставляя в данное уравнение значение , находим значение.

2. Находим производную данной функции и ее значение при .

3. Подставляя значение ,ив уравнение касательной (или нормали), получим необходимое уравнение.

Пример. , x₀ = –1.

Решение:

1. Подставляя значение в данное уравнение, находим значение ординаты:

2. Находим производную данной функции , а затем ее значение при

3. Подставляем значения ,,в уравнения (3) и (4) соответственно, получаем:

- уравнение касательной

- уравнение нормали.

Ответ: - уравнение касательной

- уравнение нормали.