30. Правила реляционной алгебры.

Правильно построенная формула на множестве отношений R с помощью операторов ; ;  называется алгебраическим выражением. В алгебраических выражениях никакие операторы не имеют между собой преимуществ.

1. r’=_B1(_B2 (r)) = _B2(_B1 (r)) – операция выбора коммутативна;

2. r’=_B(r₁r₂)=_B(r₁)_B(r₂) – операция выбора над пересечением отношений равносильна пересечению операций выбора над каждым отношением, но _B(r₁)_B(r₂) более рациональна, чем _B(r₁r₂);

3. r’=_B(r₁r₂)=_B(r₁)_B(r₂) – операция выбора над объединением отношений равносильна объединению операций выбора над каждым отношением, но _B(r₁) _B(r₂) более рациональна, чем _B(r₁r₂);

4. r’=_B(r₁\r₂)= _B(r₁)\_B(r₂) – операция выбора над разностью отношений равносильна разности операций выбора над каждым отношением, но _B(r₁)\_B(r₂) более рациональна, чем _B(r₁\r₂);

5. r’=_B(r₁><r₂)=_B(r₁)><r₂ и r’=_B(r₁><r₂)= r₁><_B(r₂) операция выбора над соединением отношений равносильна соединению одного отношения с результатом операции выбора над другим отношением, но _B(r₁)><r₂ или r₁><_B(r₂) более рациональна, чем _B(r₁><r₂), т. к. последняя генерирует значительно большее число кортежей;

6. r’= _rel(r₁r₂)=_rel(r₁)_rel(r₂) - операция проекции над пересечением отношений равносильна пересечению операций проекции над каждым отношением;

7. r’=(r₁><r₂)= (r₂><r₁) - операция соединения коммутативна;

8. r’=(r₁><r₂)><r₃=r₁><(r₂><r₃) – операция соединения ассоциативна.

31. Реляционное исчисление. Переменные кортежи, переменные домены.

Если реляционная алгебра изучает способы формирования алгебраи­ческих выражений и приемы исполне­ния различных операций над отношениями, то реляционное исчисление изучает логические функции на множестве кортежей отношения. ”истина” логической функции подтверждает верность алгебраического выражения для формирования отношения, а “ложь” - отрицает её.

Приняты два типа исчисления: реляционное с переменными-кортежами и реляционное с переменными на доменах.

Пусть r’={t’ F(t), t’{t}}, где F(t) – формула предиката. При значении F(t)=и из формулы F(t) извлекается кортеж t’ r’.

Также как в исчислении предикатов были введены предметные переменные и постоянные введем в реля­ционном исчислении понятия переменные и постоянные кортежи. Для обозначения перемен­ных кортежей используем символы x, y, z,... , а для обозначения постоянных - символы a, b, c,... Однако, так как любой постоянный или переменный кортеж есть терм то введем общее обозначение кортежа t.

Элементарная формула или атом определяется правилами:

• если r - имя отношения, а х -переменный-кортеж, то r(x) – атом;

• если x и y – кортежи и задан оператор  сравнения значений двух или нескольких атрибутов A_i и A_j, то (x(A_i)y(A_j)) - атом;

• никаких других атомов нет.

Основными строительными блоками для формирования формулы являются атомы.

Формулы реляционного исчисления с переменными-кортежами есть:

• всякий атом есть формула, т.е. F= r(t) и

F= x(A_i)k_di или F= x(A_i)y(A_j);

• если F₁ и F₂ -формулы, то F₁, F₂, (F₁ F₂), (F₁F₂) также формулы;

• если x - переменный кортеж, F - формула, включающая х, то _x(F) и _x(F) также формулы. Формула _x(F) утверждает, что существует такое значение x , при подстановке которого эта формула становится истинной. Формула _x(F) утверждает, что при подстановке любого кортежа подходящей арности эта формула становится истинной;

• никаких иных формул нет.

При использовании кванторов всеобщности  и существования  вводят понятия свободных и связных переменных-кортежей.

Переменная-кортеж является связанной, если ей предшествует квантор по этой же переменной-кортежу. В противном случае имеем свободную переменную-кортеж.

Реляционное исчисление, ориентированное на домены (или исчисление доменов), отличается от исчисления кортежей тем, что в нем используются переменные доменов вместо переменных кортежей, т.е. переменные, принимающие свои значения в пределах домена, а не отношения.

Основным формальным отличием исчисления доменов от исчисления кортежей является наличие дополнительного набора предикатов, позволяющих выражать так называемые условия членства.

Если R - это n-арное отношение с атрибутами t1, t2, ..., tn, то условие членства имеет вид  R (pair, pair,…),

где каждая пара pair имеет вид t:v, при этом v – это либо литерально задаваемая константа, либо имя доменной переменной.

Условие членства принимает значение true в том и только в том случае, если в отношении R существует кортеж, содержащий значения указанных атрибутов.

Если v – константа, то на атрибут t задается жесткое условие, не зависящее от текущих значений доменных переменных; если же  v – имя доменной переменной, то условие членства может принимать разные значения при разных значениях этой переменной.

С использованием традиционного синтаксиса языка предикатов реляционное исчисление с переменными доменов имеет вид:

{x₁x₂…x_k | y (x₁, x₂, …, x_k)},

где y - формула, обладающая тем свойством, что только ее свободные переменные доменов являются различными переменными x₁, x₂, …, x_k.