laboratornye_raboty / №6 Математическое моделирование (Хищник-жертва)

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Воронежская государственная медицинская академия имени Н.Н. Бурденко» Министерства здравоохранения Российской Федерации

Кафедра физики, математики и медицинской информатики

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ СТУДЕНТАМ ПО ТЕМЕ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ:

«МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Авторы: Е.В. Дмитриев, Т.В. Шаева, В.В. Бельчинский, А.В. Плетнев

УДК: 61(083.3) (072) ББК 22.17 М 34

Рецензенты: Зав.кафедрой нормальной физиологии ВГМА, д.м.н., проф. Яковлев В. Н.

Профессор кафедры медико-биологических дисциплин ВГИФК, к.б.н. Артемова Э.К.

Дмитриев Е.В. Математическое моделирование: метод. указания / Е.В. Дмит-

риев, Т.В. Шаева, В.В. Бельчинский, А.В. Плетнев – Воронеж: ВГМА, 2011. –

15 с.: ил.

Методические указания содержат основные теоретические вопросы по данной теме, дидактические единицы для подготовки к занятию и самоконтроля. Предназначены для студентов специальностей «лечебное дело», «педиатрия», «стоматология», «медико-профилактическое дело», «фармация».

Печатаются по решению Центрального методического совета

Воронежской государственной медицинской академии имени Н.Н. Бурденко,

протокол №2 от 29 ноября 2011 г.

УДК 61(083.3) (072) ББК 22.17

Типография ВГМА, 2011

Тема занятия: Математическое моделирование

Цель занятия: 1. Способствовать формированию системы теоретических знаний по математическому моделированию как методу познания: классификация моделей, значение метода для медицины, частный случай математической модели "хищники-жертвы".

2. Способствовать формированию практических навыков использования математического аппарата в доказательной медицине

Витоге изучения данной темы студент должен ЗНАТЬ:

1.Понятие математической модели

2.Этапы процесса моделирования

3.Значение метода для медицины

4.Классификацию моделей

5.Создание математической модели "хищники-жертвы"

Студент должен УМЕТЬ:

1.Исследовать полученную детерминированную аналитическую модель системы на компьютере

2.Проводить анализ результатов моделирования

Мотивация темы: Современный этап развития общества характеризуется качественным изменением деятельности врача, которое связано с широким применением математических явлений, имеющих место в медицинской практике. Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств. Главная особенность моделирования в том, что этот метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей.

I. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ ВО ВНЕАУДИТОРНОЕ ВРЕМЯ

Изучить теоретический материал занятия, используя следующую логическую структуру учебного материала:

1.Понятие модели

2.Значение метода для медицины, его преимущества

3.Классификация моделей:

–вещественные;

–энергетические;

–информационные

4.Математические модели:

–детерминированные;

–вероятностные

5.Основные этапы моделирования

6.Показатели качества модели

7.Создание математической модели "хищники-жертвы":

–постановка задачи;

–составление дифференциальных уравнений;

–проверка и корректировка модели;

–пять уровней сложности модели

8.Анализ результатов моделирования:

–факторы, сдерживающие рост популяции;

–связь численности популяций "жертв" и "хищников";

–факторы, определяющие рост численности популяции;

–зависимость скорости гибели популяции "жертв" от размера популяции "хищников"

Средства для самоподготовки студентов во внеаудиторное время

1.Учебная и методическая литература: а) основная

–Павлушков И.В. Основы высшей математики и математической статистики: учебник для мед. и фарм. вузов / И.В. Павлушков. – М.:

ГЭОТАР-Мед., 2008. - 424 с.

–Ремизов А.Н. Сборник задач по медицинской и биологической физике / А.Н. Ремизов, А.Г. Максина. – М.: Дрофа, 2007. – 192 с.

б) дополнительная

–Морозов Ю.П. Основы высшей математики и статистики: учебник для медвузов / Ю.П. Морозов.- М.: Медицина, 2004. – 232 с.

–Лобоцкая Н.Л. Высшая математика: учебник для вузов / Н.Л. Лобоцкая, Ю.В. Морозов, А.А. Дунаев. – Мн.: Выш. шк., 1987. – 319 с.

2.Консультации преподавателей (еженедельно по индивидуальному графику)

ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ МАТЕРИАЛ ПО ТЕМЕ ЗАНЯТИЯ

1. Моделирование как метод познания.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биология и, наконец, медицину. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования XX в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания. Термин «модель» широко используется в различных сферах человеческой деятельности и имеет множество смысловых значений. Рассмотрим только такие «модели», которые являются инструментами получения знаний. Модель - это такой материальный или мысленно

представляемый объект, который в процессе исследования замещает объекторигинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объек- те-оригинале. Под моделированием понимается процесс построения, изучения и применения моделей. Оно тесно связано с такими категориями, как абстракция, аналогия, гипотеза и др. Процесс моделирования обязательно включает и построение абстракций, и умозаключения по аналогии, и конструирование научных гипотез. Главная особенность моделирования в том, что это метод опосредованного познания с помощью объектов-заместителей. Модель выступает как своеобразный инструмент познания, который исследователь ставит между собой и объектом и с помощью которого изучает интересующий его объект. Именно эта особенность метода моделирования определяет специфические формы использования абстракций, аналогий, гипотез, других категорий и методов познания.

Необходимость использования метода моделирования определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать или вовсе невозможно, или же это исследование требует много времени и средств. Процесс моделирования включает три элемента: 1) субъект (исследователь), 2) объект исследования, 3) модель, опосредствующую отношения познающего субъекта и познаваемого объекта.

Пусть имеется или необходимо создать некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или находим в реальном мире другой объект В – модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых знаний об объекте-оригинале. Познавательные возможности модели обуславливаются тем, что модель отражает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Вопрос о необходимости и достаточной мере сходства оригинала и модели требует конкретного анализа. Очевидно, модель утрачивает свой смысл как в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть оригиналом), так и в случае чрезмерного во всех существенных отношениях отличия от оригинала.

Таким образом, изучение одних сторон моделируемого объекта осуществляется ценой отказа от отражения других сторон. Поэтому любая модель замещает оригинал лишь в строго ограниченном смысле. Из этого следует, что для одного объекта может быть построено несколько "специализированных" моделей, концентрирующих внимание на определенных сторонах исследуемого объекта или же характеризующих объект с разной степенью детализации.

На втором этапе процесса моделирования модель выступает как самостоятельный объект исследования. Одной из форм такого исследования является проведение «модельных» экспериментов, при которых сознательно изменяются условия функционирования модели и систематизируются данные о ее "поведении". Конечным результатом этого этапа является множество знаний о модели.

На третьем этапе осуществляется перенос знаний с модели на оригинал – формирование множества знаний об объекте. Этот процесс переноса знаний проводится по определенным правилам. Знания о модели должны быть скорректированы с учетом тех свойств объекта-оригинала, которые не нашли отражения или были изменены при построении модели. Мы можем с достаточным основанием переносить какой-либо результат с модели на оригинал, если этот результат необходимо связан с признаками сходства оригинала и модели. Если же определенный результат модельного исследования связан с отличием модели от оригинала, то этот результат переносить неправомерно.

Четвертый этап – практическая проверка получаемых с помощью моделей знаний и их использование для построения обобщающей теории объекта, его преобразования или управления им. Для понимания сущности моделирования важно не упускать из виду, что моделирование не единственный источник знаний об объекте. Процесс моделирования «погружен» в более общий процесс познания. Это обстоятельство учитывается не только на этапе построения модели но и на завершающей стадии, когда происходит объединение и обобщение результатов исследования, получаемых на основе многообразных средств познания.

Моделирование – циклический процесс. Это означает, что за первым четырехэтапным циклом может последовать второй, третий и т.д. При этом знания об исследуемом объекте расширяются и уточняются, а исходная модель постепенно совершенствуется. Недостатки, обнаруженные после первого цикла моделирования, обусловленные малым знанием объекта и ошибками в построении модели, можно исправить в последующих циклах. В методологии моделирования, таким образом, заложены большие возможности саморазвития.

2. Значение метода для медицины.

Метод моделирования находит свое применение в медицине и сопутствующих ей науках. Метод моделирования в медицине является средством, позволяющим устанавливать все более глубокие и сложные взаимосвязи между теорией и опытом. В последнее столетие экспериментальный метод в медицине начал наталкиваться на определение границы, и выяснилось, что целый ряд исследований невозможен без моделирования. Если остановиться на некоторых примерах ограничений области применения эксперимента в медицине, то они будут в основном следующими:

а) вмешательство в биологические системы иногда имеет такой характер, что невозможно установить причины появившихся изменений (вследствие вмешательства или по другим причинам);

б) некоторые теоретически возможные эксперименты неосуществимы вследствие низкого уровня развития экспериментальной техники;

в) большую группу экспериментов, связанных с экспериментированием на человеке, следует отклонить по морально-этическим соображениям.

Но моделирование находит широкое применение в области медицины не только из-за того, что может заменить эксперимент. Оно имеет большое самостоятельное значение, которое выражается в целом ряде преимуществ:

1.С помощью метода моделирования на одном комплексе данных можно разработать целый ряд различных моделей, по-разному интерпретировать исследуемое явление и выбрать наиболее плодотворную из них для теоретического истолкования.

2.В процессе построения модели можно сделать различные дополнения к исследуемой гипотезе и получить ее упрощение.

3.В случае сложных математических моделей можно применять ЭВМ.

4.Открывается возможность проведения модельных экспериментов (модельные эксперименты на подопытных животных).

Все это ясно показывает, что моделирование выполняет в медицине само-

стоятельные функции и становится все более необходимой ступенью в процессе создания теории.

3. Классификация моделей.

Существует множество классификаций моделей, наиболее общая из них разделяет все модели на вещественные, энергетические и информационные.

Под вещественными моделями принято понимать те, которые воспроизводят структуру объекта и взаимоотношения его частей. Примером таких моделей в медицине могут служить различные протезы, которые по внешнему виду похожи на реальные части тела, которые они замещают.

Энергетические модели используются для моделирования, функциональных взаимоотношений в изучаемых объектах. Эти модели по внешнему виду не напоминают моделируемые объекты, но их целью является выполнение функций этих объектов. Например, в медицине широко используются такие системы, как аппарат искусственной почки или искусственного дыхания. Имеется целый ряд разработок, в которых сочетаются свойства вещественных и энергетических моделей, то есть и по внешнему виду и по выполняемым функциям модели подобны заменяемым органам. К таким моделям относятся биоуправляемые протезы, искусственный хрусталик глаза, последние разработки в области искусственного сердца.

В отличие от первых двух моделей информационные модели производят описание объекта. В медико-биологических исследованиях до недавнего времени для описания работы биологических систем использовали преимущественно словесные модели. Однако с помощью словесных моделей затруднительно четко изложить закономерности работ изучаемого объекта. Поэтому все ча-

ще используются математические модели, которые используют количественные соотношения между параметрами исследуемой биосистемы.

Математическая модель представляет собой систему математических соотношений – формул, функций, уравнений, систем уравнений и т.д., описывающих те или иные стороны изучаемого объекта, явления, процесса.

Использование математических моделей позволяет перейти к сжатому изложению гипотез и закономерностей, а главное, к широкому использованию компьютерных технологий.

Кроме рассмотренных трех классов моделей в медицине широко применяются биологические модели. Для изучения протекания патологических процессов, обработки новых методов хирургического вмешательства и изучения новых лекарственных средств широко используют биологические модели различных животных. Полученные результаты с определенной долей осторожности переносят на человека. В зависимости от целей исследования подбирают животных так, чтобы уровень организации изучаемой системы был близок к уровню организации таковой у человека. Например, биологической моделью наследственной артериальной гипертензии человека являются спонтанно гипертензивные крысы, выведенные Окамото и Аоки (1967) из популяции крыс линии Вистар-Киото. У спонтанно гипертензивных животных артериальное давление спонтанно повышается с 4-5 недели жизни ввиду реализации наследственных механизмов. Причем стадии развития болезни и ее осложнения аналогичные, как и при наследственной артериальной гипертензии человека.

Наибольшее значение в медицинских исследованиях получили математические модели. Обычно это система уравнений, описывающая взаимосвязь между переменным, характеризующими реальный физиологический процесс или систему. Математические модели подразделяются на детерминированные и вероятностные. В детерминированных моделях переменные и параметры предполагаются постоянными или описываются детерминированными функциями. В вероятностных моделях, характеризующие ее переменные и параметры являются случайными функциями или случайными величинами.

Детерминированные математические модели чаще всего представляют собой систему алгебраических или дифференциальных уравнений. Вероятностные модели строятся по результатам экспериментального определения статических или динамических характеристик объектов на основе методов математической статистики.

Необходимость применения в медицине математических методов моделирования с использованием компьютерной техники диктуется тем, что с их помощью можно адекватно и в короткий срок обобщить сложную сущность явлений и процессов, описать и понять факты, выявить взаимосвязи, найти рациональное решение с гораздо большей полнотой и надежностью, чем это делается на базе словесных характеристик, элементарных рутинных расчетов.

На настоящий момент времени сформировалось представление о том, что может дать применение метода математического моделирования в медицине: систематизировать важные параметры (физиологически содержательные свойства) и определять общую чувствительность системы вариации каждого параметра, количественно оценивать трудно измеряемые и вообще не измеряемые показатели, быстро и эффективно проверять гипотезы без обращения к эксперименту, планировать эксперименты и исследования, предсказывать поведение реальной системы.

Успех математического моделирования в медицине зависит от того, насколько глубоко исследованы системы организма и на этой основе эффективно выделены информативные подпространства признаков. Авторы моделей в математическом описании функций организма отражают физические, биохимические, физиологические и структурные характеристики объекта исследования.

Важной проблемой математического моделирования в медицине является адекватность математического выражения биологического явления. Проблемность этой ситуации состоит в том, что математический аппарат создавался в расчете на изучение процессов неживой природы (механических, атомных, молекулярных), характеризующихся одномерным распределением, которое не свойственно биопроцессам.

Построение математических моделей биосистем подразумевает проведение экспериментальных исследований для получения количественных характеристик изучаемых процессов. В дальнейшем эти характеристики становятся объектом исследования и на их основе с учетом теоретических предпосылок строится модель, объясняющая функционирование изучаемого объекта. Наивысшей точкой такого обобщения является математическая модель, заменяющая реальный объект исследования. Построенная модель представляет собой некоторое упрощение реального объекта как по структуре, так и по сложности внешних и внутренних связей, но обязательно отражает те свойства объекта, которые являются целью исследования. В дальнейшем модель подвергается всесторонней проверке и корректировке для более полного соответствия модели и реального объекта. Рассмотрим более подробно основные этапы модели-

рования:

1.Постановка задачи, которая заключается в определении цели исследования и моделирования на основании некоторой первоначальной гипотезы.

2.Построение функциональной системы объекта - определение входов и выходов, режимов изменения входных воздействий, исследуемых режимов (норма, патология).

3.Планирование эксперимента. На этом этапе определяют режимы изменения входных сигналов, внутренних состояний системы, производится обработка комплекса контрольно - измерительной аппаратуры.

4.Проведение серии пробных опытов для обработки методики исследований, приемлемости принятых допущений, проверки исходной гипотезы.

5.Проведение основной серии опытов для получения статических и динамических характеристик.

6.Предварительная статистическая обработка материала, полученного на стадии экспериментирования с биосистемой.

7.Выбор типа и вида модели на основании анализа результатов статистической обработки данных.

8.Определение параметров модели по результатам экспериментов.

9.Всестороннее исследование математической модели биосистемы с целью определения достоверности и границ применимости модели.

Сравнение результатов, полученных с помощью модели и реального объ-

екта, позволяет определить основные показатели качества модели:

–информативность, оценивается корреляцией между экспериментальным значением отклика системы на внешние воздействия и значением отклика, рассчитанным по модели;

–адекватность, означает отражение моделью с заданной точностью определенной совокупности свойств объекта;

–устойчивость коэффициентов регрессии и структуры модели. Направленность на клиническое применение определила особые требо-

вания к математическим моделям: необходимость отражения математических процессов и компенсаторных сдвигов, лечебных воздействий (медикаментозных, измерение режима вентиляции, жидкостного баланса и пр.), представление клинического контроля, оценку модели в реальном времени, а также наличие интерактивного интерфейса в терминах, принятых в клинике.

Внастоящее время возрос интерес к использованию методов математического моделирования при создании новых лекарственных средств. Хранение и обработка информации о структуре и биологическом действии химических соединений, поиск оригинальных базовых структур во внутрифирменных и коммерчески доступных банках данных, установление связи структура–свойство и оптимизация свойств активных субстанций, анализ структурных особенностей новых биологических мишеней действия лекарств, моделирование взаимодействия лиганд–рецептор, минимизация функционально активных фрагментов эндогенных биорегуляторов, комбинаторная химия – вот лишь некоторые из проблем, эффективное решение которых было бы невозможно без современных компьютерных технологий.

Виюне 1996 года на базе Института биомедицинский химии РАМН создано Российское отделение Международного общества по анализу количественных соотношений структура–активность и молекулярному моделированию, что позволило расширить возможности компьютерного прогнозирования. В результате работы коллектива в этом направлении была создана компьютерная