
Таблица первообразных / Таблица первообразных
.docxТаблица первообразных ("интегралов"). Таблица интегралов. Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.
Таблица первообразных ("интегралов"). Табличные неопределенные интегралы. (Простейшие интегралы и интегралы с параметром). |
|
Интеграл степенной функции. |
Интеграл степенной функции. |
Интеграл, сводящийся к интегралу степенной функции, если загнать х под знак диффференциала. |
|
|
|
Интеграл экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненты, где a-постоянное число. |
Интеграл сложной экспоненциальной функции. |
Интеграл экспоненциальной функции. |
|
|
Интеграл, равняющийся натуральному логорифму. |
Интеграл : "Длинный логарифм". |
|
Интеграл : "Длинный логарифм". |
Интеграл : "Высокий логарифм". |
Интеграл, где х в числителе заводится под знак дифференциала (константу под знаком можно как прибавлять, так и отнимать), в итоге схож с интегралом, равным натуральному логорифму. |
Интеграл : "Высокий логарифм". |
|
|
|
Интеграл косинуса. |
Интеграл синуса. |
Интеграл, равный тангенсу. |
Интеграл, равный котангенсу. |
|
|
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
Интеграл, равный как арксинусу, так и арккосинусу. |
Интеграл, равный как арктангенсу, так и арккотангенсу. |
|
|
Интеграл равный косекансу. |
Интеграл, равный секансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арккосекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
Интеграл, равный арксекансу. |
|
|
Интеграл, равный гиперболическому синусу. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу. |
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому синусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому косинусу, где sinhx - гиперболический синус в ангийской версии. |
Интеграл, равный гиперболическому тангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому котангенсу. |
Интеграл, равный гиперболическому секансу. |
Интеграл, равный гиперболическому косекансу. |
Формулы интегрирования по частям. Правила интегрирования.
Формулы интегрирования по частям. Формула Ньютона-Лейбница.Правила интегрирования. |
|
Интегрирование произведения (функции) на постоянную: |
|
Интегрирование суммы функций: |
|
Формула интегрирования по частям неопределенные интегралы: |
|
Формула интегрирования по частям определенные интегралы: |
|
Формула Ньютона-Лейбница определенные интегралы: |
Где F(a),F(b)-значения первообразных в точках b и a соответственно. |
Таблица производных. Табличные производные. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции.
Если x - независимая переменная, то:
Таблица производных. Табличные производные."таблица производный"-да, к сожалению, именно так их и ищут в интернете |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Производная натурального логарифма функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Правила дифференцирования. Производная произведения. Производная частного. Производная сложной функции. |
|
Производная произведения (функции) на постоянную: |
|
Производная суммы (функций): |
|
Производная произведения (функций): |
|
Производная частного (функций): |
|
Производная сложной функции: |
|
Свойства логарифмов. Основные формулы логарифмов. Десятичные (lg) и натуральные логарифмы (ln).
|
|
|
|
|
|
Основное логарифмическое тождество |
|
Покажем как можно любую функцию вида ab сделать экспоненциальной. Поскольку функция вида ех называется экспоненциальной, то |
|
Любая функция вида a b может быть представлена в виде степени десяти |
|
Натуральный логарифм ln (логарифм по основанию е = 2,718281828459045… ) ln(e)=1; ln(1)=0
При |
|
логарифм числа (1+х) разлагается в ряд: |
|
||
Например, |
||
|
|
|
Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:
При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.
Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:
1),
где f(x) - функция, имеющая при х=а производные
всех порядков. Rn
- остаточный член в ряде Тейлора
определяется выражением
2)
k-тый коэффициент (при хk) ряда определяется формулой
3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)
при
a=0
члены ряда определяются по формуле
Условия применения рядов Тейлора.
1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).
2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.
Свойства рядов Тейлора.
-
Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.
-
Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:
Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.
Таким образом, практически любую функцию можно представить в виде полинома с заданной точностью.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1. Первые члены разложений основных функций в ряды Тейлора и Макларена.
Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена( =Макларена, Тейлора в окрестностях точки 0)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры некоторых распространенных разложений в ряды Тейлора в окрестностях точки 1
|
|
|