Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция непрерывна в и непрерывно дифференцируема по переменной в , то имеет место следующая оценка погрешности

где  — средний шаг, то есть существует такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

№ 17 Задача Коши методом Рунге-Кутта

Изложим идею метода на примере задачи Коши:

(6.7)

Интегрируя это уравнение в пределах от X до X + H (0 < H <1), получим равенство

(6.8)

Которое посредством последнего интеграла связывает значения решения рассматриваемого уравнения в двух точках, удаленных друг от друга на расстояние шага H.

Для удобства записи выражения (6.8) используем обозначение ∆Y = Y(X + H) – Y(X) и замену переменной интегрирования T = X + AH. Окончательно получим:

(6.9)

Указав эффективный метод приближенного вычисления интеграла в выражении (6.9), мы получим при этом одно из правил численного интегрирования уравнения (6.7).

Постараемся составить линейную комбинацию величин jI, I = 0, 1, ..., Q, которая будет являться аналогом квадратурной суммы и позволит вычислить приближенное значение приращения DY:

(6.10)

Где

Метод четвертого порядка для Q = 3, являющийся аналогом широко известной в литературе четырехточечной квадратурной формулы "трех восьмых", имеет вид

(6.11)

Где

Особо широко известно другое вычислительное правило типа Рунге-Кутта четвертого порядка точности:

(6.12)

Где

Метод Рунге-Кутта имеет погрешность четвертого порядка (~ H4 ).

Правило Рунге. Если приближенный метод имеет порядок погрешности M, то погрешность можно приближенно оценить по формуле

(6.13)

В формуле (6.13) O(Xi) – главный член погрешности, И - приближенные решения в точке Xi, найденные с шагом H и 2H соответственно.

№ 18 Система ОДУ Метод Эйлера

Системы дифференциальных уравнений

Очень часто приходится иметь дело с задачей, в которой необходимо решить систему нескольких дифференциальных уравнений с несколькими искомыми функциями.

Будем рассматривать нормальные системы дифференциальных уравнений, в которых уравнения разрешены относительно производных и число уравнений равно числу неизвестных функций. Например, система двух уравнений с двумя неизвестными функциями y, z от одного и того же аргумента x в нормальной форме имеет вид:

,

(8.34)

причем штрих означает производную по x. Общий вид нормальной системы n уравнений с n неизвестными функциями x₁, x₂, ..., x_n от переменного t имеет вид:

(8.35)

Рассмотренные численные методы решения дифференциального уравнения вида y^/=f(x, y) без труда переносятся на системы вида (8.35): каждый раз при переходе к следующей точке параллельно вычисляются приращения каждой из неизвестных функций по аналогичным формулам.

Так , для нормальной системы двух уравнений

, с начальными условиями

(8.36)

используя метод Эйлера, можно записать расчетные формулы так:

№19