4. Исследование плоского рычажного механизма аналитическим методом

При аналитическом определении положений, скоростей и ускорений точек механизма используется метод векторных контуров. Механизм представляется в виде замкнутого векторного контура. Записав условие его замкнутости, проектируют векторное равенство на оси координат. Уравнения проекций используются для определения положений звеньев механизмов.

Дифференцируя уравнения проекций векторов на оси координат по обобщенной координате, находят аналоги скоростей звеньев.

После второго дифференцирования уравнений проекций векторов получают аналоги ускорений звеньев механизма.

По известным аналогам скоростей и ускорений находят действительные скорости и ускорения звеньев и точек механизма, используя соотношения между скоростями и ускорениями и их аналогами:

; (7)

, (8)

где q – обобщенная координата; – обобщенная скорость;– обобщенное ускорение;– аналог скорости;– аналог ускорения.

Пример. Определение положений, скоростей и ускорений механизма (рис.10) аналитическим методом.

Известные величины: длины звеньев, координаты неподвижных точек и положение направляющей ползуна, положение ведущего звена 1 – координата ₁.

; ;

;

4.1. Определение функций положений звеньев

Запишем условие замкнутости ОАDО:

Спроецируем векторное равенство на оси координат:

Рис.10. К аналитическому исследованию рычажного механизма

Определим функции положений звеньев 3 и 2 –ии положение этих звеньев для

Поделив первое равенство на второе, найдем:

Из треугольника ОАD получим функцию и значение:

Величина угла , измеренного по чертежу, составляет 70, т.е. погрешность графического метода равна 0,71%.

Найдем графически:

Погрешность графического метода определения положения ползуна составляет 0,38%.

Определим функции положений звена 4 – и звена 5 –. С этой целью запишем условие замкнутости контураDВСЕD:

Проектируя векторное равенство на оси координат, получим:

Функцию положения звена 4 – и положение звена 4 длянайдем из первого уравнения:

Для получения функции необходимо в правую часть выражения подставить функцию:

.

Угол , измеренный по чертежу, составляет 330, т.е. погрешность графического метода равна 0,3%.

Функция положения ползуна и ее значение длянаходятся из первого уравнения проекций после подстановки углови:

Координата ползуна , снятая с чертежа и приведенная к истинной величине, равна:

Погрешность графического метода составляет 0,1%.

4.2. Определение аналога угловой скорости звена 3 – и аналога относительной скорости звеньев2 и 3 –

Дифференцируем проекции векторного уравнения на оси координат для контура ОАDО по обобщенной координате :

Спроектируем полученные уравнения на повернутые оси координат. Угол поворота новых осей равен :

Из первого уравнения найдем аналог угловой скорости третьего звена –, что одновременно является и функцией положения этого звена и передаточным соотношением :

Определим графически. С этой целью предварительно найдем:

Теперь получим : .

Погрешность графического метода определения передаточного отношения равна 2,3%.

Из второго уравнения найдем аналог относительно скорости звеньев 2 и 3 в функции угла поворота ведущего звена – и значение аналога скорости для :