2. Исследование плоского рычажного механизма графическими методами (методами планов)

Планы скоростей и ускорений представляют собой векторное изображение скоростей и ускорений некоторых точек механизма. Для построения планов используются точки, совпадающие с кинематическими парами, и, следовательно, принадлежащие одновременно двум звеньям.

Абсолютные скорости и ускорения находятся по известным направлениям и величинам переносных скоростей (ускорений) и известным направлениям относительных скоростей (ускорений). Пересечение линий, соответствующих известным направлениям относительных скоростей (ускорений), дает на плане искомую точку.

Если кинематическая пара вращательная, то относительная скорость сопряженных точек равна нулю. Поэтому, определяя скорости и ускорения шарниров, переходят от звеньев, скорости и ускорения точек которых известны, к звеньям с неизвестными ранее скоростями и ускорениями.

Если пара поступательная, то относительная скорость известна по направлению – эта скорость параллельна возможному относительному перемещению звеньев.

Относительна скорость двух точек, принадлежащих одному звену (твердому телу), известна по направлению – она перпендикулярна прямой, соединяющей эти точки, так как они связаны неизменным расстоянием и могут лишь вращаться одна относительно другой.

Пример 1

Построение планов скоростей и ускорений механизма, изображенного на (рис.3). Известны размеры звеньев и угловая скорость ведущего звена ω₁.

1. Определение скоростей точек А₁, А₂, А₃

Находим величину скорости А₁, совпадающей с точкой А, но принадлежащей звену 1:

.

Такой же скоростью обладает точка А₂, совпадающая с точкой А, но принадлежащая звену 2.

Выбираем полюс плана скоростей – точку «р» плоскости, скорость которой равна нулю, в этой точке будут находиться начала векторов абсолютных скоростей всех точек механизма.

Изображаем скорость точки А₁ (рис.4). Вектор скорости точки А₁ направлен перпендикулярно звену ОА и соответствует векторному произведению

.

Рис.3. Схема механизма _l = 0,004 м/мм

Рис.4. План скоростей,

В конце вектора ставится буква а₁, соответствующая точке А₁ механизма.

Скорость точки А₂, совпадающей с точкой А₁ и принадлежащей звену 2, равна скорости точки А₁, поэтому на плане обозначим скорости этих точек одним вектором – .

Выбрав длину вектора , такой, чтобы длина наименьшего вектора плана скоростей могла быть измерена с погрешностью не более 5%, найдем масштаб плана:

.

Определим скорость точки А₃, совпадающей с точкой А, но принадлежащей звену 3. Точка А₃ связана с точкой А_1,2 кинематической парой ползун-кулиса (поступательной) и с точкой D звеном А₃D. Приняв скорости точек А_1,2 и D за переносные, представим скорость точки А₃ как векторную сумму переносных и относительных скоростей:

1) ;

2) .

Из каждого уравнения в отдельности нельзя найти абсолютную скорость точки А₃, так как относительные скорости известны только по направлению, поэтому решая графически векторные уравнения совместно, найдем искомую скорость точки А₃ на пересечении направлений относительных скоростей:

, так как ползун относительно кулисы движется параллельно AD;

, точка А₃ может лишь вращаться относительно точки D.

Рассмотрим первое векторное уравнение. Скорость точки A_1,2 – изображается на плане вектором. С этим вектором должен быть сложен вектор , который известен по направлению с точностью до знака – он параллелен звену АD; поэтому из конца вектора – точкиa_1,2 проводится прямая, параллельная звену АD.

Затем рассматривается второе векторное уравнение. Скорость точки D – равна нулю, поэтому точкаD находится в полюсе. Вектор относительной скорости известен по направлению с точностью до знака – он перпендикулярен звену АD. Для векторного изображения этого уравнения следует из полюса провести прямую, перпендикулярную звену АD (по направлению вектора относительной скорости ).

На пересечении направлений векторов и находится конец вектора скорости А₃ – точка «а₃».

Величина скорости А₃ равна: .

2. Определение скорости точки В

Скорость точки B находится из известного свойства планов скоростей: точка на плане делит вектор-отрезок в таком же отношении, как соответствующая точка делит звено механизма

, откуда

Направление скорости точки B совпадает с вектором скорости точки А₃, так как обе точки находятся на одном звене, вращающемся вокруг неподвижной точки D.

3. Определение скорости точки C

В этом случае также необходимо записать два векторных уравнения, графическое решение которых и даст искомую скорость:

1) , где – переносная скорость; ее вектор показан на плане; – относительная скорость; ее вектор перпендикулярен CB.

2) , где– переносная скорость точкиC₀, совпадающей с С, но принадлежащей неподвижной направляющей и следовательно ;– относительная скорость точкиC, лежащей на ползуне, и точки C₀, лежащей на неподвижной направляющей, ее вектор параллелен направляющей «х-х».

Через точку b – конец вектора проводим прямую, перпендикулярную звену BC. На ней расположится вектор относительной скорости .

Согласно второму векторному уравнению абсолютная скорость точки C равна относительной и ее вектор параллелен направляющей «х-х», поэтому через полюс проводят прямую, параллельную «х-х», на которой должен располагаться вектор абсолютной скорости точки C. Пересечение этой прямой с направлением вектора относительной скорости и дает искомую точку «c» на плане скоростей. Вектор скорости точки С – отрезок . При этом относительная скорость изобразится вектором-отрезком .

Следует заметить, что направление вектора относительной скорости на плане не соответствует последовательности букв в индексе обозначения относительной скорости. Например, вектор направлен не от точки «с» к точке «b», а в противоположном направлении согласно векторному уравнению , т.е. .

4. Определение ускорения точки А_1,2

При постоянной угловой скорости ведущего звена ускорение точки А_1,2 – только нормальное:

.

Вектор ускорения точки А_1,2 направлен от точки А к точке О – центру вращения звена ОА. Изобразим этот вектор на плане ускорений. Из полюса плана – точки «П» отложим вектор параллельно звену ОА в указанном направлении (рис.5).

Примем длину вектора-отрезка такой величины, чтобы погрешность измерения длины наименьшего вектора-отрезка была бы не более 5% и найдем масштаб _а плана ускорений:

.

Рис.5. План ускорений,

5. Определение ускорения точки А₃

Ускорение точки А₃ определяется из двух векторных уравнений. Движение точки А₃ рассматривается относительно точек А_1,2 и D:

1) ;

2) ,

где –ускорение Кориолиса, определяемое известным образом , где–переносная скорость ; –относительная скорость точек А_1,2 и А₃.

В нашем примере .

Угловая скорость звена 3 определяется по линейной скорости точки А₃ и известной длине звена :

.

Направление определяется по плану скоростей. Затем находят направление ускорения угловой скорости .

Относительная скорость изображена на плане скоростей вектором , а величина ее равна:

.

Направление ускорений Кориолиса определяется по правилу векторного произведения:

.

Угол между векторами и – прямой.

Относительное ускорение известно только по направлению. Вектор этого ускорения направлен параллельно звену АD.

Ускорение точки D равно нулю. Нормальное относительное ускорение определяется по известной относительной скорости ,которая изображена вектором на плане скоростей:

.

, так как точка d совпадает с полюсом плана – точкой «р».

Нормальное относительное ускорение равно: .

Тангенциальное относительное ускорение известно только по направлению с точностью до знака. Вектор этого ускорения направлен перпендикулярно звену АD:

.

Нанесем все векторы на план ускорений в масштабе _а. Пересечение направлений относительных ускорений и дает искомую точку «а₃» на плане. Ускорение точки А₃ определится по известному масштабу плана ускорений и величине вектора-отрезка :

.

6. Определение ускорения точки B

Ускорение точки B находится из свойства планов ускорений – пропорциональности векторов-отрезков планов и соответствующих размеров звеньев:

; .

7. Определение ускорения точки С

Ускорение точки С находится в результате решения двух векторных уравнений

1) ,

2) ,

где – переносное ускорение;– вектор этого ускорения есть на плане;– относительное нормальное ускорение, определяемое известным образом. Векторнаправлен параллельно звену СВ от точки С к точке В. –вектор относительного тангенциального ускорения; его направление перпендикулярно нормальному; – переносное ускорение; его вектор равен нулю, так как точка С₀ неподвижна; – относительное ускорение точек С и С₀. Точка С принадлежит ползуну, а точка С₀ – неподвижной стойке, поэтому относительное ускорение параллельно траектории движения ползуна – прямой «х-х».

Изобразим на плане первое векторное уравнение. Отложим в масштабе _а от конца вектора скорости точки В – вектор-отрезок и через конец этого вектора – точку «n» проведем прямую, параллельную направлению тангенциального ускорения , т.е. перпендикулярно вектору-отрезку .

Изобразим второе векторное уравнение. Абсолютное ускорение точки С совпадает с относительным, так как переносное равно нулю, и направлено параллельно «х-х» – траектории движения ползуна. Пересечение этого направления с направлением тангенциального ускорения даст искомую точку «с» плана и ускорение точки С механизма:

.

Для проверки относительной правильности построения планов и графического дифференцирования и интегрирования следует для некоторых положений механизма сравнить ускорения, полученные методом планов и графическим дифференцированием диаграммы скоростей. С этой целью определяются истинные ускорения умножением ординат диаграммы на ее масштаб и умножением длин соответствующих векторов-отрезков планов на масштабы планов ускорений. Допускается погрешность не более 5%.

Кроме того, проводят сравнение диаграмм перемещений, полученных двумя методами: методом графического интегрирования и методом планов механизма. Обе диаграммы изображают в одних координатах.