Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Нижегородский Государственный Технический Университет

Выксунский филиал

Кафедра ОиОПД

Оформление результатов измерений в лабораториях

физического практикума

Методические указания

г. Выкса

2006 Г.

Составили: В.П.Маслов, И.И.Рожков, О.Д.Честнова, Р.В.Щербаков.

Дана методика определения погрешностей при измерении физических величин. При написании использованы описания лабораторных работ НГТУ, МАИ, МИФИ, СФТИ и др. вузов.

Научный редактор А.А. Радионов

Погрешности при измерении физических величин.

Введение.

Измерение физических величин и получение их числовых значений являются непосредственной задачей большинства физических экспериментов. При измерениях значение физической величины выражается в виде числа, которое указывает, во сколько раз измеренная величина больше (или меньше) другой величины, например, времени, пути, скорости и т. д. Физика устанавливает связь между такими величинами и выражает ее в виде формул, которые показывают, как числовые значения одних величин могут быть найдены по числовым значениям других.

Получение надежных числовых значений не является простой задачей из-за погрешностей, неизбежно возникающих при измерениях. Мы рассмотрим эти погрешности, а также методы, применяемые при обработке результатов измерений. Владение этими методами нужно для того, чтобы научиться получать из совокупности измерений наиболее близкие к истине результаты, вовремя заметить несоответствия и ошибки, разумно организовать сами измерения и правильно оценить точности полученных значений.

Измерения подразделяются на прямые и косвенные. В зависимости от вида измерений существуют различные методы оценки их точности. В свою очередь погрешности, допускаемые в процессе эксперимента, разделяются на систематические, случайные и грубые ошибки (промахи).

Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые измеряют непосредственно саму исследуемую величину. Так, массу тела можно найти с помощью весов, длину измерить линейкой, а время – секундомером.

К косвенным относятся измерения таких физических величин, для нахождения которых необходимо использовать связь в виде формулы с другими, непосредственно измеряемыми величинами, например, нахождение объема тела по его линейным размерам, нахождение плотности тела по измеренным массе и объему, расчет сопротивления проводника по показаниям вольтметра и амперметра.

Причины возникновения погрешностей.

Из-за действия множества искажающих факторов результат каждого отдельного измерения физической величины не совпадает с ее истинным значением. Разность между результатом измерения и истинным значением измеряемой величины называется погрешностью измерений (ошибкой измерений).

Различают три типа погрешностей измерений: грубые ошибки (промахи), систематические и случайные погрешности. Грубые ошибки или промахи, обычно бывают связаны с неисправностью измерительной аппаратуры, либо с ошибкой экспериментатора в отсчете или записи показаний приборов, либо с резким изменением условий измерений. Результаты измерений, соответствующих грубым ошибкам, нужно отбрасывать и взамен проводить новые измерения.

Методические погрешности обусловлены неадекватностью принимаемых моделей реальным объектам. Например, при измерении геометрических параметров вала или трубы их моделируют цилиндром. Диаметр цилиндра должен быть одинаков во всех сечениях и всех направлениях, образующие также должны иметь одинаковую длину. Однако в силу внутренних особенностей материала и несовершенства используемых технологий изготовления это правило обычно нарушено.

Другая причина – несовершенство методов измерений. Если расстояние между двумя точками порядка 100 м измеряется посредством многократного наложения метровой линейки, то в результате измеряется длина некоторой ломаной линии.

Погрешность может быть обусловлена также упрощением зависимостей, положенных в основу измерений. Например, ускорение свободного падения g можно определить, если измерить время t, в течение которого некоторое тело в свободном падении пройдет определенное расстояние h . При этом пользуются соотношением

,

которое справедливо, если на тело действует только сила тяжести. Реально на тело действует также сила сопротивления, которая в данном случае не учитывается.

Инструментальные (приборные) погрешности обусловлены особенностями принципов и методов измерений, используемых в приборах, а также их схемным, конструктивным и технологическим несовершенством. Одна из причин такой погрешности – погрешность калибровки, возникающая в процессе перехода от эталона к реальному средству измерения. Приборные погрешности определяются при испытании средства измерения и указываются в технической документации. Уменьшение инструментальной погрешности достигается применением более совершенных и точных приборов. Однако полностью устранить приборную погрешность невозможно.

Систематические погрешности сохраняют свою величину и знак во время эксперимента. Они могут быть связаны с ошибками приборов (неправильная шкала, неравномерно растягивающаяся пружина, неравномерный шаг микрометрического винта, неравные плечи весов) и с самой постановкой опыта, например, при взвешивании тела малой плотности без учета выталкивающей архимедовой силы, которая систематически занижает вес тела. Систематические погрешности опыта могут быть изучены и учтены путем внесения поправок в результаты измерений. Если систематическая погрешность опыта слишком велика, то обычно оказывается проще использовать новые, более точные приборы, чем исследовать погрешности старых.

Оценку систематических погрешностей экспериментатор проводит, анализируя особенности методики, паспортную точность прибора и проводя контрольные опыты. В учебном практикуме учет систематических ошибок ограничивается, как правило, лишь случаем инструментальных погрешностей.

Систематические погрешности стрелочных электроизмерительных приборов (амперметров, вольтметров, потенциометров и т. п.) определяется их классом точности, который выражает абсолютную погрешность прибора в процентах от максимального значения включенной шкалы. Пусть на шкале вольтметра с диапазоном показаний от 0 до 10 В в кружке стоит цифра 1. Эта цифра показывает, что класс точности вольтметра равен 1 и предел его допустимой погрешности равен 1% от максимального значения включенной шкалы, т. е. равен 0,1 В. Общая формула для расчета максимальной абсолютной погрешности имеет вид:

,

где K – класс точности прибора, A_макс – верхний предел измерений прибора (либо данного его диапазона).

Кроме того, надо иметь в виду, что наносить деления на шкале принято с таким интервалом, чтобы величина абсолютной погрешности прибора не превышала половины цены деления шкалы.

Класс точности стрелочных электроизмерительных приборов (как и полцены деления шкалы) определяет максимальную (предельную) абсолютную погрешность, величина которой не меняется вдоль всей шкалы. Относительная же погрешность при этом резко меняется, поэтому приборы обеспечивают лучшую точность при отклонении стрелки почти на всю шкалу. Отсюда следует рекомендация: выбирать прибор так, чтобы стрелка прибора при измерениях находилась во второй половине шкалы. Относительную погрешность прибора можно рассчитать по формуле:

.

В последнее время широко используются цифровые универсальные приборы, в том числе и электроизмерительные, отличающиеся высокой точностью и многоцелевым назначением. В отличие от стрелочных приборов систематические погрешности цифровых электроизмерительных приборов оцениваются по формулам, приводимым в инструкциях по эксплуатации.

Если класс точности прибора не указан и в паспорте прибора нет данных относительно его инструментальной погрешности, то обычно считают, что эта погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора. В случае прибора, стрелка которого перемещается не равномерно, а «скачками» (например, у ручного секундомера), приборную погрешность считают равной цене деления шкалы.

Случайные погрешности измерений меняют величину и знак от опыта к опыту. Многократно повторяя одни и те же измерения, можно заметить, что довольно часто их результаты не в точности равны друг другу, а «пляшут» вокруг некоторого среднего значения.

Случайные погрешности могут быть связаны, например, с сухим трением (из-за которого стрелка прибора вместо того, чтобы останавливаться в правильном положении, «застревает» вблизи него), с люфтом в механических приспособлениях, с тряской, которую в городских условиях трудно исключить, с несовершенством объекта измерений (например, при измерении диаметра проволоки, которая из-за случайных причин, возникающих при изготовлении, имеет не вполне круглое сечение) или с особенностями самой измеряемой величины. Примером в последнем случае может быть число космических частиц, регистрируемых счетчиком за 1 минуту. Повторяя измерения, найдем, что в разных опытах получаются разные числа, хотя и не слишком отличающиеся друг от друга, колеблющиеся около некоторого среднего значения.

Случайные погрешности эксперимента исследуются путем сравнения результатов, полученных при нескольких измерениях, проведенных в одинаковых условиях. Если при двух-трех измерениях, проведенных в одинаковых условиях, результаты совпали, то на этом следует остановиться. Если они расходятся, нужно попытаться понять причину расхождения и устранить ее. Если устранить причину не удается, следует произвести 10-12 измерений и, записав все результаты, обработать их в соответствии с полученной закономерностью разброса величин.

Случайные погрешности устранить нельзя, но благодаря тому, что они подчиняются вероятностным закономерностям, всегда можно указать пределы, внутри которых с заданной вероятностью заключается истинное значение измеряемой величины.

Задача определения случайных погрешностей была решена созданием теории, хорошо согласующейся с экспериментом. В основе этой теории лежит закон нормального распределения, включающий следующие закономерности:

1. При большом числе измерений ошибки одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

2. Частота появления ошибок уменьшается с ростом величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.

3. Ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений.

Случайные погрешности изучают, опираясь на изложенные закономерности, и для понимания такого подхода требуется ввести понятие вероятности.

Статистическая вероятность события определяется отношением числа n случаев его проявления к общему числу N всех возможных равновероятных случаев:

Надежностью результата измерения физической величины А называется вероятность Р того, что истинное значение А действительно лежит в интервале от до

Абсолютной погрешностью измерений называют разность между найденным на опыте и истинным значением физической величины. Обозначая абсолютную погрешность измерения величины А символом , получим

.

Кроме абсолютной погрешности часто бывает важно знатьотносительную погрешность измерений, которая равна отношению абсолютной погрешности к значению измеряемой величины:

.

Качество измерений обычно определяется именно относительной, а не абсолютной погрешностью. Одна и та же погрешность в 1 мм при измерении длины комнаты не играет роли, при измерении стола может быть существенна, а при определении диаметра болта совершенно недопустима.

За наиболее достоверное значение непосредственно измеряемой величины А принимают среднее арифметическое <A> из всех n результатов ее измерений А₁, А₂, …, А_i, …, А_n:

.

Окончательный результат измерения величины А представляют в форме

.

При числе измерений n5 с надежностью Р2/3 можно принять, что абсолютная погрешностьравна стандартной (среднеквадратичной) погрешности

.

Если необходимо повысить надежность результата, то значение следует соответственно увеличить, положив

,

где t – положительный коэффициент, задаваемый распределением Стьюдента. Значения коэффициентов Стьюдента рассчитаны и приведены в таблицах.

Сложение случайных и систематических погрешностей.

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются погрешностями S_СИСТ и S_СЛУЧ. Суммарная погрешность находится по формуле

,

которая показывает, что при наличии как случайной, так и систематической погрешности полная ошибка опыта больше, чем каждая из них в отдельности.

Обратим внимание на важную особенность формулы. Пусть одна из ошибок, например, S_СЛУЧ в 2 раза меньше другой – в нашем случае S_СИСТ. Тогда

.

В нашем примере с точностью 12% S_ПОЛН=S_СИСТ. Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. Данный вывод очень важен. В том случае, когда случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Измерения достаточно произвести 2-3 раза, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

Обработка результатов при косвенных измерениях.

Таким образом, для определения относительной погрешности можно прологарифмировать функцию Z(A,B,...) и, взяв частные производные от lnZ по каждой из переменных, воспользоваться вышеприведенными соотношениями.

где ∂Z/∂А -частная производная, при вычислении которой все величины, кроме А, предполагаются постоянными. Результирующая погрешность определяется по формуле

Иногда бывает удобно находить сначала относительную погрешность δZ

где δZ_A -относительная погрешность величины Z, обусловленная погрешностью в определении величины А. Для ее определения используется соотношение

В большинстве экспериментов интересующая нас величина непосредственно не измеряется. Вместо этого мы измеряем некоторые другие величины А, В, С, и т.д., а затем вычисляем величину Z , которая является известной функцией указанных первичных величин. Пусть каждая первичная величина измерена несколько раз, найдено ее среднее значение и погрешность измерения, и пусть измерения первичных величин независимы и поэтому их по­грешности тоже независимы. Зная средние значения <А>, <В> и т.д., можно вычислить <Z> и оценить погрешность ΔZ через погрешности ΔА, ΔВ и т.д.

Для определения результирующей погрешности ΔZ необходимо знать ΔZ_А , ΔZ_B,…, обусловленные отдельными прямыми измерениями. Здесь ΔZ_A определяет погрешность величины Z, обусловленную погрешностью в определении величины А при условии, что все остальные аргументы В, С и т.д. имеют значения в точности равные <В>, <C> и т.д. Ее можно вычислить по формуле

Пусть для косвенных измерений физической величины А используется известная функциональная зависимость А от ряда других независимых величин B, C, D, E, F, …, Q, заданная в форме .

Среди переменных B, C, …, Q могут быть величины трех типов:

1) величины, определяемые путем прямых измерений (например, величины E, F, …, Q), которые после проведения этих измерений представляются в стандартной форме:

, , …,;

2) данные установки (например, величины B и C), т. е. характеристики экспериментальной установки, известные из предыдущих измерений; эти величины также должны быть заданы в аналогичной форме:

и ;

3) табличные величины (например, величина D) – величины, которые в данном опыте не измеряются, а берутся из таблиц.

Табличная величина может быть константой (например, D=π). В этом случае ее нужно брать из таблиц с такой точностью, чтобы относительная погрешность D была значительно меньше относительных погрешностей всех остальных величин, входящих в функциональное выражение для искомой величины А. Если же D – заданная в табличной форме функция непосредственно измеряемой величины T, то ее также нужно представить в стандартной форме:

,

где <D> - табличное значение, соответствующее <T>; , аопределяется с помощью таблицы.

Наилучшим значением величины А при косвенном ее измерении будет

,

а стандартная погрешность А принимается равной

Окончательный результат также представляется в стандартной форме:

.

Формулы расчета погрешностей при косвенных измерениях в некоторых простейших случаях:

Вид функциональной зависимости	Стандартная погрешность SA	Относительная погрешность SA/A
	-

Графики.

Графики строят при изучении функциональной зависимости одной величины от другой. Они являются одним из наиболее важных методов для анализа данных и представляют результаты в наиболее наглядной форме, выдавая максимум информации на минимальном пространстве. Построив график, мы сразу выявляем характерные особенности изучаемых зависимостей: области возрастания или убывания, максимумы и минимумы, скорость изменения функции, периодичность и т.д. Графики позволяют выявить область, где существует определенная зависимость между величинами, и на основании этого сделать вывод о характере физических процессов.

При построении графиков нужно руководствоваться определенными правилами.

1. График выполняется на миллиметровой бумаге. Построение графика начинают с нанесения координатных осей, при этом аргумент - величина, значение которой задает сам экспериментатор, - откладывается по оси абсцисс, а функция - величина, определяемая из эксперимента, - по оси ординат.2. На координатные оси наносят масштаб, который выбирается в соответствии с интервалом изменения переменных независимо для каждой из них. Начало координат (точку 0,0) не обязательно помещать на графике. Это необходимо лишь в том случае, когда нужно подчеркнуть, что кривая проходит через точку 0,0. Во всех остальных случаях, особенно, когда значения перемен­ных существенно отличаются от нуля, а интервал их изменения невелик, нулевое значение величины может остаться за пределами построенного графика. Выбирая масштаб, нужно стараться, чтобы график занимал всю отведенную для него площадь, а не ютился где-то в уголке.

Ценность графика во многом зависит от удачного выбора масштаба. Проще всего, если единица измеренной величины (или 10; 100; 0,1 и т.д.) соответст­вует 1см на координатной оси. Можно выбрать масштаб, когда 1см соответствует 2 или 5 единицам. Других масштабов следует избегать, чтобы при нане­сении точек на график не приходилось, например, делить 1см на 3 или 7 час­тей. Цифры не обязательно указывать против каждого деления масштаба, их число тоже диктуется соображениями удобства, В конце оси указывается от­кладываемая величина и ее размерность (I, А). Множитель 10ⁿ, определяю­щий порядок величины, лучше отнести к единице измерения, например, I,мА или I,10^-3А.

Часто при исследовании функциональных зависимостей применяют лога­рифмический масштаб. Когда интересующая нас зависимость имеет вид у=а^х, то логарифмическую шкалу применяют только для одной координат­ной оси (оси у). При этом в зависимости от значения величины а можно поль­зоваться как десятичными, так и натуральными логарифмами. Удобство тако­го метода состоит в том, что при таком подходе мы получаем линейную зави­симость величины lnу от х. Если же исследуемая зависимость имеет вид у=х^а, то удобнее применить логарифмическую шкалу для обеих осей, ибо в этом случае указанная зависимость представляется прямой линией и величина показателя степени а может быть определена по тангенсу угла, образованно­го этой линией с координатными осями (угловой коэффициент прямой).

3. После построения координатных осей приступают к нанесению на график экспериментальных данных. (При этом отмечать на координатных осях значения измеренных на опыте величин недопустимо). Экспериментальные точки должны быть четко видны на графике. Через экспериментальные точки проводят "наилучшую" плавную кривую. Кривая не должна заслонять экспериментальные точки, поскольку именно они являются результатом опыта, а кривая - лишь толкование результата. Если на графике имеется теоретическая кривая, то кривую через экспериментальные точки лучше не проводить. При построении теоретической кривой точки, по которым она строится, ставят без нажима, чтобы они не были видны после проведения линии.

4. Погрешности указывают для одной или обеих измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки, или в виде прямоугольника, стороны которого равны доверительным интервалам. Это особенно необходимо, когда от величины погрешности зависит интерпретация результатов эксперимента.

Например, на рис.1,2 приведены результаты различных экспериментов по изучению зависимости величины у от величины х. В случае рис.1 эксперимент не выявляет зависимости величины у от х, а на рис.2 такая зави­симость очевидна.