|
Нижегородский Государственный Технический Университет Выксунский Филиал
Лабораторная работа №1-3 по физике “Определение момента инерции твёрдых тел методом трифилярного подвеса”
Выполнила: Проклова Е.А. Группа: ПТК-07
Проверил: Маслов В.П.
г. Выкса 2007г.
|
|
Введение Актуальность работы. В природе и технике весьма распространенный является вращательное движение, которое описывается, в физике основным законом динамики вращательного движения. Этот закон в случае неподвижной оси вращения можно рассматривать как аналог II закона Ньютона, в котором роль меры инертности играет момент инерции абсолютно твердого тела. Расчет момента инерции твердого тела относительно произвольной оси является в общем случае сложной математической задачей. Для решения этой задачи часто удобнее использовать экспериментальные методы. Цель работы. Экспериментальное определение момента инерции диска, цилиндр, кольца и параллелепипеда относительно главных осей инерции этих твёрдых тел; исследование зависимости момента инерции от распределения массы тела относительно оси вращения;экспериментальная проверка теоремы Штейнера. Практическая ценность. В работе изучается используемый в практике метод измерения момента инерции твердых тел. В процессе работы студенты получают навыки измерения момента инерции твердых тел методом крутильных колебаний трифилярного подвеса и умение рассчитывать момент инерции, относительно осей симметрии тела.
Экспериментальная часть
Если платформа массы m, вращаясь в одном направлении, поднялась на высоту h, то ее потенциальная энергия в крайнем положении:
где g - ускорение свободного падения тела. Вращаясь в другом направлении, платформа придет в положение равновесия с кинетической энергией:
Где I - момент инерции платформы;
Пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:
Считая, что платформа совершает гармонические колебания, можно написать зависимость угла поворота платформы от времени:
|
|
Т - период полного колебания t - время Угловая
скорость
В момент прохождения через положение равновесия абсолютное значение угловой скорости будет максимальным:
Подставляя это значение в уравнение получим:
Чтобы найти момент инерции I платформы из этого соотношения подставляя значение h, получим:
По этой формуле может быть определен момент инерции платформы и тела, положенного на нее, так как все величины в правой части могут быть непосредственно измерены. В случае нагруженной платформы массу m берут равной сумме масс платформы и тела. Вычисленный момент инерции системы Iсист складывается из момента инерции пустой платформы и тела: Iсист = I0+IT , где I0 - момент инерции платформы, IT - момент инерции тела. Отсюда получаем: IT = Iсист - I0
Определение моментов инерции тел опытным путем
<mплатф>= <mкольца>= <mдиск>= <mпар-да>=
<hплатф>=
<hдиск>=<hкольц>=
<hпар-пед>=
Имеем: mплатф=0,4170,001 кг mпаралл=0,4250,001 кг mкольца=1,1030,001 кг mдиска=1,1030,001 кг hплатф=0,00347м hкольца=0,00270м hдиска=0,00270м hпар-пед=0,0028м r=0,0350,001 м Экспериментом измерено: N=3 - кол-во измерений для каждого тела n=30 - кол-во полных колебаний
|
В
нашей работе момент инерции тела
определяется при помощи трифилярного
повеса (рис. 1), который представляет
собой круглую платформу, подвешенную
на трех симметрично расположенных
проволоках, укрепленных у краев
платформы. Наверху эти проволоки также
симметрично прикреплены к трем точкам
треноги, расположенным по окружности
меньшего радиуса. Платформа может
совершать крутильные колебания вокруг
вертикальной оси, перпендикулярной
к ее плоскости и проходящей через ее
середину: центр тяжести платформы при
этом перемещается по оси вращения.
Период колебаний определяется моментом
инерции платформы. Он будет другим,
если платформу нагрузить каким-либо
телом. Этим и пользуются в данной
работе.
,
Рис.
1
-
угловая скорость платформы в момент
достижения ею положения равновесия.
,
где:
- мгновенное значение
угла поворота платформы
- амплитудное значение
угла поворота
является первой производной от угла
поворота
по времени:
.
.
,
откуда
кг
кг
-
Тело
Измеренное время, с
Параметры тела, м
пустая платформа
139,2
136,2
134,2
R=0,1501
h=0,00347
кольцо
90,7
88,8
87,5
R1=0,0521
R2=0,0364
h=0,0027
диск
73,1
70,4
70,1
R=0,0543
h=0,0027
параллелепипед
84,6
87,8
86,8
a=0,155
b=0,122
с=0,048
Находим средний результат измерения по формуле:
Находим средний период колебаний:
<t>
<T>=——,с
n
Результаты расчетов заносим в таблицу:
|
Тело |
<t> ,c |
<T> ,c |
|
пустая платформа |
136,5 |
4,55 |
|
кольцо |
88,9 |
2,97 |
|
диск |
71,2 |
2,37 |
|
параллелепипед |
84,6 |
2,88 |
Рассчитаем момент инерции
пустой платформы:
J0=m·g·h·<T>²/2·(π·a0)², кг·м²
где h=0,00347 м – высота подъема платформы при повороте на угол a0, определяем с помощью индикатора с точностью до 1,0·10-2мм.
g=9,81м/с² ‑ ускорение свободного падения
π=3,14;
a0=π/2 – угол поворота платформы
m=0,417кг – масса платформы
J0=0,417·9,81·0,00347·((4,55)²)/(2·(3,14·(3,14/2))²)=0,025кг·м²;
нагруженной платформы Jсист по формуле:
Jсист=mсист·g·h·<T>²/2·(π·a0)²,
диска, кольца и параллелепипеда по формуле:
JT=Jсист- J0, кг·м²;
Диск
Jсист=((0,417+1,103)·9,81·0,0027·(2,37)²)/(2·((3,14·(3,14/2))²)=0,056 кг·м²
JT=Jсист-J0=0,056-0,025=0,031 кг·м²;
Кольцо
Jсист=((0,417+1,103)·9,81·0,0027·(2,97)²)/(2·((3,14·(3,14/2))²)=0,01064 кг·м²;
JT=Jсист-J0=0,0073-0,025=0,012 кг·м²;
Параллелепипед
Jсист=((0,417+0,425)·9,81·0,0028·(2,88)²)/( 2·((3,14·(3,14/2))²)=0,11кг·м²
JT=Jсист-J0=0,11-0,025=0,085кг·м²;
|
Тело |
Iсист , кг м2 |
Iт , кг м2 |
|
пустая платформа |
|
0,025 |
|
кольцо |
0,01064 |
0,012 |
|
диск |
0,056 |
0,031 |
|
параллелепипед |
0,11 |
0,085 |
Рассчитываем абсолютную и относительную погрешности измерения:
-стандартная случайная погрешность
tp,N=2,8 tp,=2,0-соответствующие коэффициенты
Стьюдента
при N=5(доверительная вероятность 95%)
=0,01-точность секундомеров
Определение момента инерции тел теоретическим путём Пустая платформа:
|
R1,м |
R2,м |
R3,м |
R4,м |
R5,м |
|
0,1501 |
0,1501 |
0,1500 |
0,1502 |
0,1502 |
<R>=(R1+R2+R3+R4+R5)/5=0,1501 м.
Параллелепипед:
|
a1,м |
a2,м |
a3,м |
a4,м |
a5,м |
|
0,155 |
0,155 |
0,154 |
0,155 |
0,156 |
<a>=(a1+a2+a3+a4+a5)/5=0,1536 м
|
b1,м |
b2,м |
b3,м |
b4,м |
b5,м |
|
0,122 |
0,122 |
0,121 |
0,122 |
0,123 |
<b>=(b1+b2+b3+b4+b5)/5=0,122 м
Диск:
|
R1,м |
R2,м |
R3,м |
R4,м |
R5,м |
|
0,0543 |
0,0542 |
0,0542 |
0,0544 |
0,0542 |
<R>=(R1+R2+R3+R4+R5)/5=0,0543 м.
Кольцо:
Rвнеш:
|
R1,м |
R2,м |
R3,м |
R4,м |
R5,м |
|
0,0521 |
0,0522 |
0,0521 |
0,0521 |
0,0522 |
<R>=(R1+R2+R3+R4+R5)/5=0,0521
rвнутр:
|
r1,м |
r2,м |
r3,м |
r4,м |
r5,м |
|
0,0365 |
0,0363 |
0,0365 |
0,0363 |
0,0366 |
<r>=(r1+r2+r3+r4+r5)/5=0,0364 м.
Обработка результатов эксперимента
Статистическая обработка результатов прямых измерений.
Определяем абсолютную погрешность Δt измерения времени
-
Определяем относительную погрешность εt измерения времени для каждого тела:
εt=∆t/<t>,
Пустая платформа
St =√ ((139,2-136,5)²+(136,2-136,5)²+(134,2-136,5)²)/ 3*(3-1)=0,59;
εt=(2,6/136,5)=0,019; εt= 1,9%
Диск
St=√ ((73,1-71,2)²+(70,4-71,2)²+(70,1-71,2)²)/ 3*(3-1)=0,42;
εt=1,8/71,2=0,025 εt= 2,5%
Параллелепипед
St=√ ((84,6-84,6)²+(87,8-84,6)²+(86,8-84,6)²)/3*(3-1)=0,65;
εt=(2,8/84,6)=0,033; εt= 3,3%
Кольцо
St=√ ((90,7-88,9)²+(88,8-88,9)²+(87,5-88,9)2)/3*(3-1)=0,47;
εt=2,1/88,9=0,023; εt=2,3%
|
Тело |
St |
t, c |
t |
|
|
пуст. платформа |
0,59 |
2,6 |
0,019 |
|
|
кольцо |
0,47 |
2,1 |
0,023 |
|
|
диск |
0,42 |
1,8 |
0,025 |
|
|
паралл. на торце |
0,47 |
2,1 |
0,023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|