Метод Ньютона (метод касательных).

Его отличие от предыду­щего метода состоит в том, что на ой итерации вместо хорды проводится касательная к кри­вой при и ищется точка пересечения касательной с осью абсцисс. При этом не обязательно задавать отрезок , содержащий корень уравнения , а доста­точно лишь найти некоторое на­чальное приближение корня .Уравнение касательной, про­веденной к кривой в точке с координатами и, имеет вид

.

Отсюда найдем следующее приближение корня как абсциссу точки пере­сечения касательной с осью :

.

Аналогично могут быть найдены и следующие приближения как точки пересечения с осью абсцисс касательных, проведенных в точках и т. д. Формула для -го приближения имеет вид : .

При этом необходимо, чтобы . Для окончания итерационного процесса могут быть использованы условия или условие близости двух последовательных приближений:.

Из следует, что на каждой итерации объем вычислений в ме­тоде Ньютона больший, чем в рассмотренных ранее методах, поскольку приходится находить значение не только функции , но и ее производ­ной. Однако скорость сходимости здесь значительно выше, чем в других методах.

Остановимся на некоторых вопросах, связанных со сходимостью ме­тода Ньютона и его использованием. Имеет место следующая теорема.

Теорема. Пусть — корень уравнения , т.е. , а и непрерывна. Тогда существует окрестность корня такая, что если начальное приближение принадлежит этой окрестности, то для метода Ньютона последовательность значений сходится к при . Приэтом для погрешности корня имеет место соотношение :

.

Фактически это означает, что на каждой итерации погрешность возво­дится в квадрат, т. е. число верных знаков корня удваивается. Если , то легко показать, что при после пяти-шести итераций погрешность станет величиной порядка . Это наименьшее возможное значение погрешности при вычислениях на современных ЭВМ даже с удвоенной точностью. Заметим, что для получения столь малой погрешности в методе деления отрезка пополам потребовалось бы более 50 итераций.

Трудность в применении метода Ньютона состоит в выборе начального приближения, которое должно находиться в окрестности . Поэтому иногда целесообразно использовать смешанный алгоритм. Он состоит в том, что сначала применяется всегда сходящийся метод (например, метод деления отрезка пополам), а после некоторого числа итераций — быстро сходящийся метод Ньютона.

Метод простой итерации.

Для использования этого метода исход­ное нелинейное уравнение записывается в виде:

Пусть известно начальное приближение корня . Подставляя это зна­чение в правую часть уравнения , получаем новое приближение

.

Далее подставляя каждый раз новое значение корня в уравнение , получаем последо­вательность значений , .

Итерационный процесс прекращается, если результаты двух последовательных итераций близки: .Достаточным условием сходимости метода простой итерации является условие .

Здесь - начальное приближение корня, а в дальнейшем – результат предыдущей итерации,- значение корня после каждой итерации. В данном алгоритме предполагалось, что итерационный процесс сходится. Если такой уверенности нет, то необходимо ограничить число итераций и ввести для них счетчик.