Лекция 8. Задачи с ограничениями.

Теория и методы решения задач оптимизации при наличие ограничений составляют предмет исследования одного из разделов прикладной математики – математического программирования.

Решения задач математического программирования значительно более трудоемко по сравнению с задачами без условной оптимизации. Ограничения типа равенств или неравенств требуют их учета на каждом шаге оптимизации.

Одним из направлений в методах решения задач математического программирования является сведение их к последовательности задач безусловной минимизации. К этому направлению относится метод штрафных функций.

Сущность этого метода состоит в следующим. Пусть - целевая функция, для которой нужно найти минимумв ограниченной области. Данную задачу заменяем задачей о безусловной минимизации однопараметрического семейства функций

(1).

При этом дополнительную (штрафную) функцию выберем таким образом, чтобы прирешении вспомогательной задачи стремилось к решению исходной или, по крайней мере, чтобы их минимумы совпадали:

при.

Штрафная функция должна учитывать ограничения, которые задаются при постановке задачи оптимизации. В частности, если имеются ограничения – неравенства вида, то в качестве штрафной можно взять функцию, которая:

1. равна нулю во всех точках пространства проектирования, удовлетворяющих заданным ограничениям – неравенствам;

2. стремится к бесконечности в тех точках, в которых эти неравенства не выполняются.

Таким образом, при выполнении ограничений – неравенств функции иимеют один и тот же минимум. Если хотя бы одно неравенство не выполняется, то вспомогательная целевая функцияполучает бесконечно большие добавки, и её значения далеки от минимума функции. Другими словами, при несоблюдении ограничений – неравенств налагается «штраф».Отсюда и термин «метод штрафных функций».

Теперь рассмотрим случай, когда в задачи оптимизации заданы ограничения двух типов – равенства и неравенства:

(2).

В этом случае в качестве вспомогательной целевой функции, для которой формулируется задача безусловной оптимизации во всем -мерном пространстве, можно принять функцию

(3).

Здесь взята такая штрафная функция, что при выполнении условий (2) она обращается в нуль. Если же эти условия нарушены (т.е. и), то штрафная функция положительна. Она увеличивает целевую функциютем больше, чем больше нарушаются условия (2).

При малых значениях параметра вне областифункциясильно возрастает. Поэтому её минимум может быть либо внутри, либо снаружи вблизи границ этой области. В первом случае минимумы функцииисовпадают, поскольку дополнительные члены в (3) равны нулю. Если минимум функциинаходится вне, то минимум целевой функциилежит на границе. Можно при этом построить последовательностьтакую, что соответствующая последовательность минимумов функциибудет стремиться к минимуму функции.

Таким образом, задача оптимизации для целевой функции с ограничениями (2) свелась к последовательности задач безусловной оптимизации для вспомогательной функции (3), решение которых может быть проведено с помощью методов спуска. При этом строится итерационный процесс при.

Укрупненная блок-схема решения задачи математического программирования с использованием штрафных функций.

Вкачестве исходных данных вводятся начальное приближение искомого вектора, начальное значение параметраи некоторое малое число, характеризующее точность расчета. На каждом шаге итерационного процесса определяется оптимальное значениевектора, при этом в качестве начального приближения принимается результат предыдущей итерации. Значения параметракаждый раз уменьшаются до тех пор, пока значение штрафной функции не станет заданной малой величиной.

В этом случае точка достаточно близка к границе областии с необходимой точностью описывает оптимальные значения проектных параметров. Если точка минимума находится внутри области, то искомый результат будет получен сразу после первого шага, поскольку в данном случае.