Лекция 2

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Уравнении с одним неизвестным

Вводные замечания. Задача нахождения корней нелинейных уравнений вида

встречается в различных областях научных исследований (здесь— некоторая непрерывная функция). Нелинейные уравнения можно раз­делить на два класса - алгебраические и трансцендентные. Алгебраическими уравнениями называются уравнения, содержащие только алгебраические функции (целые, рациональные, иррациональные). В частности, многочлен является целой алгебраической функцией. Урав­нения, содержащие другие функции (тригонометрические, показа­тельные, логарифмические и др.), называются трансцендентными.

Методы решения нелинейных уравнений делятся на прямые и итераци­онные. Прямые методы позволяют записать корни в виде некоторого конеч­ного соотношения (формулы). Вам из­вестны такие методы для решения тригонометрических, логарифмических, показательных, а также простейших алгебраических уравнений.

Однако встречающиеся на практике уравнения не удастся решить та­кими простыми методами. Для их решения используются итерационные методы, т.е. методы последовательных приближений. Алгоритм нахождения корня уравнения с помощью итерационного метода состоит из двух этапов:

а) отыскания приближенного значения корня или содержащего его отрезка;

б) уточнения приближенного значения до некоторой задан­ной степени точности.

Начальное приближение может быть найдено различными способами: из физических соображений, из решения аналогичной задачи при других исходных данных, с помощью графических методов. Если такие априор­ные оценки исходного приближения провести не удастся, то находят две близко расположенные точки и , в которых непрерывная функция принимает значения разных знаков, т.е.

.

В этом случае между точками и есть но крайней мере одна точка, в которой .В качестве начального приближения можно принять середину отрез­ка , т.е.

.

Итерационный процесс состоит в последо­вательном уточнении начального приближения . Каждый такой шаг на­зывается итерацией. В результате итераций находится последовательность приближенных значений корня Если эти значения с ростом стремятся к истинному значению корня то говорят, что итерационный процесс сходится.

Метод деления отрезка пополам (метод бисекции).

Это один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений. Он со­стоит в следующем. Допустим, что нам удалось найти отрезок , на котором расположено искомое значение корня ,т.е. . В качестве начального приближения корня принимаем середину этого от­резка, т.е.

.

Далее исследуем значения функции на концах отрезков и , т. е. в точках . Тот из отрезков, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый ко­рень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка . Вторую половину отрезка , на которой знак не меняется, отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрез­ка и т. д. Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьша­ется вдвое, а после итераций он сокращается в раз.

Пусть для определенности ,.

Вкачестве начального приближения корня примем.

Поскольку в рассматриваемом случае , то, и рассматриваем только отрезок. Следующее приближение:. При этом отрезокотбрасываем, посколькуит.е.. Аналогично находим другие приближения:и т.д.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока значение функциипосле-ой итерации не станет меньшим по модулю некоторого заданного малого числа, т.е.

.

Можно также оценивать длину полученного отрезка: если она становится меньше допустимой погрешности, то счет прекращается.

Здесь сужение отрезка производится путем замены границ или на текущее значение корня . При этом значение вычисляется лишь один раз, поскольку нам нужен только знак функции па левой границе, а он в процессе итераций не меняется.

Метод деления отрезка пополам довольно медленный, однако он всегда сходится, т.е. при его использовании решение получается всегда, причем с заданной точностью. Требуемое обычно большее число итераций по сравнению с некоторыми другими методами не является препятствием к применению этого метода, если каждое вычисление значения функции несложно.

Метод хорд.

Пусть мы нашли отрезок , на котором функ­ция меняет знак. Для определен­ности примем , . В данном методе процесс итерации состоит в том, что в качестве приближений корню уравнения принимаются значения точек пересечения хорды с осью абсцисс.

Сначала находим уравнение хор­ды :.

Для точки пересечения её с осью абсцисс получим уравнение.

Далее, сравнивая знаки величин идля рассматриваемого случая, приходим к выводу, что корень находится в интервале, т.к.. Отрезокотбрасываем. Следующая итерация состоит в определении нового приближениякак точки пересечения хордыс осью абсцисс и т.д. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока значениене станет по модулю меньше заданного числа.

Как видим, алгоритмы метода деления отрезка пополам и метода хорд похожи, однако второй из них в ряде случаев дает более быструю сходимость итерационного процесса. При этом успех его применения, как и в методе деления отрезка пополам, гарантирован.

Блок схема метода хорд аналогична предыдущей с той лишь разницей, что вместо вычисления приближения корня по формуле нужно использовать формулу. Кроме того, в блок-схему необходимо ввести операторы вычисления значенийна границах новых отрезков.