Кратные интегралы.

Численные методы использу­ются также для вычисления кратных интегралов. Огра­ничимся здесь рассмотрением двойных интегралов вида

(9).

Одним из простейших способов вычисления этого ин­теграла является метод ячеек. Рассмотрим сначала слу­чай, когда областью интегрирования является прямо­угольник:. По теореме о среднем найдем среднее значение функции:

,(10).

Будем считать, что среднее значение приближенно рав­но значению функции в центре прямоугольника, т, е. . Тогда из (10) получим выражение для приближенного вычисления двойного интеграла:

(11).

Точность этой формулы можно повысить, если разбить областьна прямоугольные ячейки(рис. 1):. Применяя к каждой ячейке формулу (11), получаем

.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам, находим зна­чение двойного интеграла:

(12).

В правой части стоит интегральная сумма; поэтому при неограниченном уменьшении периметров ячеек (или стя­гивании их в точки) эта сумма стремится к значению интеграла для любой непрерывной функции .

Можно показать, что погрешность такого приближе­ния интеграла для одной ячейки оценивается соотноше­нием

.

Суммируя эти выражения по всем ячейкам и считая все их площади одинаковыми, получаем оценку погрешности метода ячеек в виде

.

Таким образом, формула (12) имеет второй порядок точности. Для повышения точности можно использовать обычные методы сгущения узлов сетки. При этом по каждой переменной шаги уменьшают в одинаковое число раз, т. е. отношение остается постоянным.

Если область непрямоугольная, то в ряде случаев ее целесообразно привести к прямоугольному виду путем соответствующей замены переменных. Например, пусть область задана в виде криволинейного четырехугольника:. Данную область можно привести к прямоугольному виду с помощью замены

.

Кроме того, формула (12) может быть обобщена и на случай более сложных областей.

Другим довольно распространенным методом вычис­ления кратных интегралов является их сведение к по­следовательному вычислению определенных интегралов.

Интеграл (9) для прямоугольной области можно за­писать в виде

,.

Для вычисления обоих определенных интегралов могут быть использованы рассмотренные ранее численные ме­тоды.

Если область имеет более сложную структуру, то она либо приводится к прямоугольному виду с помощью замены переменных, либо разбивается на простые эле­менты.

Для вычисления кратных интегралов используется также метод замены подынтегральной функции много­мерным интерполяционным многочленом. Вычисление коэффициентов этих многочленов для простых областей обычно не вызывает затруднений.

Существует ряд других численных методов вычисле­ния кратных интегралов. Среди них особое место зани­мает метод статистических испытаний, который мы вкрат­це изложим.

Метод Монте-Карло.

Во многих задачах исходные данные носят случайный характер, поэтому для их ре­шения должен применяться статистико-вероятностный подход. На основе таких подходов построен ряд числен­ных методов, которые учитывают случайный характер вычисляемых или измеряемых величин. К ним принад­лежит и метод статистических испытаний, называемый также методом Монте-Карло, который применяется к ре­шению некоторых задач вычислительной математики, в том числе и для вычисления интегралов.

Метод Монте-Карло состоит в том, что рассматрива­ется некоторая случайная величина , математическое ожидание которой равно искомой величине:.

Проводится серия независимых испытаний, в резуль­тате которых получается (генерируется) последователь­ностьслучайных чисел, и по совокупно­сти этих значений приближенно определяется искомая величина

,.

Пусть - равномерно распределенная на отрезкеслучайная величина. Это означает, что ее плотность распределения задается соотношением

.

Тогда любая функция также будет случайной величиной, и ее математическое ожидание равно

.

Следовательно, читая это равенство в обратном порядке, приходим к выводу, что интеграл может быть вычислен как математическое ожидание некоторой случайной величины, которая определяется независи­мыми реализациямислучайной величиныс равно­мерным законом распределения:

.

Аналогично могут быть вычислены и кратные инте­гралы. Для двойного интеграла получим

,

Где - независимые реализа­ции случайных величин, равномерно распределенных на отрезке.

Для использования метода Монте-Карло при вычис­лении определенных интегралов, как и в других его при­ложениях, необходимо вырабатывать последовательности случайных чисел с заданным законом распределения. Существуют различные способы генерирования таких чисел.

Можно построить некоторый физический процесс (ге­нератор) для выработки случайных величин, однако при использовании ЭВМ этот способ непригоден, поскольку трудно дважды получить одинаковые совокупности слу­чайных чисел, которые необходимы при отладке про­грамм.

Известны многие таблицы случайных чисел, которые вычислялись независимо. Их можно вводить в ЭВМ, хра­нить в виде файла на магнитной ленте или магнитном диске коллективного пользования. А еще лучше загото­вить собственный файл случайных чисел.

В настоящее время наиболее распространенный спо­соб выработки случайных чисел на ЭВМ состоит, в том, что в памяти хранится некоторый алгоритм выработки таких чисел по мере потребности в них (подобно тому, как вычисляются значения элементарных функций, а не хранятся их таблицы). Поскольку эти числа генериру­ются по наперед заданному алгоритму, то они не совсем случайны (псевдослучайны), хотя и обладают свойствен­ными случайным числам статистическими характеристи­ками.