Метод неопределенных коэффициентов.

Аналогич­ные формулы можно получить и для случая произволь­ного расположения узлов. Использование многочлена Лагранжа в этом случае приводит к вычислению гро­моздких выражений, поэтому удобнее применять метод неопределенных коэффициентов. Он заключается в сле­дующем. Искомое выражение для производной -го по­рядка в некоторой точке представляется в виде линейной комбинации заданных значений функции в узлах :

(15).

Предполагается, что эта формула имеет место для мно­гочленов . Подставляя последовательно эти выражения в (15), получаем си­стему линейных алгебраических уравнений для оп­ределения неизвестных коэффициентов .

Улучшение аппроксимации.

Как видно из конечно-разностных соотношений для аппроксимаций производ­ных , порядок их точности прямо пропорциона­лен числу узлов, используемых при аппроксимации. Од­нако с увеличением числа узлов эти соотношения стано­вятся более громоздкими, что приводит к существенному возрастанию объема вычислений. Усложняется также оценка точности получаемых результатов. Вместе с тем существует простой и эффективный способ уточнения ре­шения при фиксированном числе узлов, используемых в аппроксимирующих конечно-разностных соотношениях. Это метод Рунге Ромберга. Изложим вкратце его сущность.

Пусть - производная, которая подлежит аппрок­симации; - конечно-разностная аппроксимация этой производной на равномерной сетке с шагом - погрешность (остаточный член) аппроксимации, главный член которой можно записать в виде , т. е.

.

Тогда выражение для аппроксимации производной в об­щем случае можно представить в виде

(16).

Запишем это соотношение в той же точке при другом шаге . Получим

(17).

Приравнивая правые части равенств (16) и (17), на­ходим выражение для главного члена погрешности аппроксимации производной:

.

Подставляя найденное выражение в равенство (16), получаем формулу Рунге:

(18).

Эта формула позволяет по результатам двух расчетов значений производной и (с шагами и ) с порядком точности найти ее уточненное значение с порядком точности .

Таким образом, формула Рунге дает более точное значение производной. В общем случае порядок точности ап­проксимации увеличивается на единицу.

Мы рассмотрели уточнение решения, полученного при двух значениях шага. Предположим теперь, что расчеты могут быть проведены с шагами . Тогда можно получить уточненное решение для производной по формуле Ромберга, которая имеет вид

Таким образом, порядок точности возрастает на . Заметим, что для успешного применения уточнения ис­ходная функция должна иметь непрерывные производные достаточно высокого порядка.

Частные производные.

Рассмотрим функцию двух переменных , заданную в табличном виде: , где . В таблице 2 представлена часть дан­ных, которые нам в дальнейшем понадобятся.

Используя понятие частной производной, можем при­ближенно записать для малых значений шагов

Воспользовавшись введенными выше обозначениями, получим следующие приближенные выражения (аппроксимацию) для частных производных в узле с по­мощью отношений конечных разностей:

Для численного дифференцирования функций многих переменных можно, как и ранее, использовать интерпо­ляционные многочлены.

Таблица 2.

Однако рассмотрим здесь другой способ – разложение в ряд Тейлора функции двух переменных:

(19).

Используя эту формулу дважды: нейдем при ; нейдем при . Получим

Вычитая почленно из первого равенства второе, получаем

.

Отсюда найдем аппроксимацию производной с помощью центральных разностей:

.

Она имеет второй порядок.

Аналогично могут быть получены аппроксимации производной , а также старших производных. В частности, для второй производной можно получит

.

Записывая разложения в ряд (19) при разных зна­чениях и , можно вывести формулы численного дифференцирования с необходимым порядком аппрок­симации.

Приведем окончательные формулы для некоторых ап­проксимаций частных производных. Слева указывается комбинация используемых узлов (шаблон), которые от­мечены кружочками. Значения производных вычисляются в узле (), отмеченном крестиком (напомним, что на шаблонах и в табл. 2 по горизонтали изменяются пере­менная и индекс , по вертикали - переменная и индекс ):

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Приведенные аппроксимации производных могут быть использованы при построении разностных схем для ре­шения уравнений с частными производными.