Погрешность численного дифференцирования.

Ап­проксимируем функцию некоторой функцией , т. е. представим ее в виде

(7).

В качестве аппроксимирующей функции можно принять частичную сумму ряда или интерполяционную функцию. Тогда погрешность аппроксимации опре­деляется остаточным членом ряда или интерполяционной формулы.

Аппроксимирующая функция может быть ис­пользована также для приближенного вычисления производной функции . Дифференцируя равенство (7) необходимое число раз, можно найти значения производ­ных :

, .

В качестве приближенного значения производной по­рядка функции можно принять соответствующее значение производной функции , т. е.

.

Величина , характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется по­грешностью аппроксимации производной.

При численном дифференцировании функции, задан­ной в виде таблицы с шагом , эта погрешность зависит от , и ее записывают в виде . Показатель степени называется порядком погрешности аппроксимации про­изводной (пли просто порядком аппроксимации). При этом предполагается, что значение шага по модулю меньше единицы.

Оценку погрешности легко проиллюстрировать с по­мощью ряда Тейлора

.

Пусть функция задана в виде таблицы . Запишем ряд Тейлора при с точностью до членов порядка :

.

Отсюда найдем производной в точке :

.

Это выражение совпадает с формулой (3), которая, как видно, является аппроксимацией первого порядка (). Аналогично, записывая ряд Тейлора при , можно получить аппроксимацию (4). Она также имеет первый порядок.

Используем теперь ряд Тейлора для оценки погреш­ностей аппроксимаций (5) и (6). Полагая и , соответственно получаем

(8).

Вычитая эти равенства одно из другого, после очевид­ных преобразований получаем

.

Это аппроксимация производной (5) с помощью цент­ральных разностей. Она имеет второй порядок.

Складывая равенства (8), находим оценку погреш­ности аппроксимации производной второго порядка ви­да (6):

.

Таким образом, эта аппроксимация имеет второй порядок. Аналогично можно получить аппроксимации производных более высоких порядков и оценку их погрешностей.

Мы рассмотрели лишь один из источников погрешно­сти численного дифференцирования - погрешность ап­проксимации (ее также называют погрешностью усече­ния). Она определяется величиной остаточного члена.

Анализ остаточного члена нетривиален, и сведения по этому вопросу можно найти в более полных курсах по численным методам и теории разностных схем. Отметим лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага , как правило, уменьшается.

Погрешности, возникающие при численном дифферен­цировании, определяются также неточными значениями функции в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ. В отличие от погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает с уменьшением шага . Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного зна­чения, после чего дальнейшее уменьшение шага не по­высит точности результатов.

Оптимальная точность может быть достигнута за счет регуляризации процедуры численного дифференцирова­ния. Простейшим способом регуляризации является такой выбор шага , при котором справедливо неравенство , где - некоторое малое число. При вычислении производной это исключает вычитание близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению погрешности. Это тем более опасно при по­следующем делении приращения функции на малое чис­ло . Другой способ регуляризации — сглаживание таб­личных значений функции подбором некоторой гладкой аппроксимирующей функции, например многочлена.

Использование интерполяционных формул.

Предпо­ложим, что функция , заданная в виде таблицы с постоянным шагом , может быть аппроксимирована интерполяционным многочленом Ньютона (3):

,

.

Дифференцируя этот многочлен по переменной с уче­том правила дифференцирования сложной функции:

,

можно получить формулы для вычисления производных любого порядка:

Интерполяционные многочлены Ньютона (а также Стирлинга и Бесселя) дают выражения для производных через разности . Однако на практике часто выгоднее выражать значения производных не через разности, а непосредственно через значения функции в узлах. Для получения таких формул удобно воспользо­ваться формулой Лагранжа с равномерным расположени­ем узлов .

Таблица 1.

0	1,2833
0,1	1,8107	0,5274
0,2	2,3606	0,5599	0,0325
0,3	2,9577	0,5971	0,0372	0,0047
0,4	3,5969	0,6392	0,0421	0,0049	0,0002
0,5	4,2833	0,6864	0,0472	0,0051	0,0002	0,000

Запишем интерполяционный многочлен Лагранжа и его остаточный член для случая трех узлов интерполяции () и найдем их производные:

.

Здесь - значение производной третьего порядка в некоторой внутренней точке .

Запишем выражение для производной при :

Аналогичные соотношения можно получить и для значений при :

.

Записывая интерполяционный многочлен Лагранжа и его остаточный член для случая четырех узлов (), получаем следующие аппроксимации производных:

(9).

В случае пяти узлов () получим:

(10).

Таким образом, используя значения функции в узлах, получаем аппроксимацию производных -го поряд­ка точности. Эти формулы можно использовать не только для узлов , но и для любых узлов , соответствующим образом изменяя значения индексов.

Обратим внимание на то, что при четных наиболее простые выражения и наименьшие коэффициенты в оста­точных членах получаются для производных в средних (центральных) узлах ( при при и т. д.). Выпишем аппроксимации производных для узла с произ­вольным номером , считая его центральным:

, , (11)

, .

Они называются аппроксимациями производных с по­мощью центральных разностей и широко используются на практике.

С помощью интерполяционных многочленов Лагранжа можно получить аппроксимации для старших производ­ных. Приведем аппроксимации для вторых производных.

В случае трех узлов интерполяции () имеем

(12).

В случае четырех узлов интерполяции () имеем

(13).

Аппроксимации вторых производных с помощью центральных разностей при четных также наиболее выгодны.