29. Классы сложности P, NP. Трудно решаемые задачи и способы их решения

Классы задач Р и NР

Сложность задачи оценивают, как правило, с точки зрения затраты времени, необходимого машине Тьюринга-Поста для того, чтобы вычислить функцию, посредством которой находится решение рассматриваемой задачи.

Класс задач Р

Рассмотрим массовую задачу, под которой в действительности имеют в виду класс П однотипных задач, состоящий из бесконечного числа индивидуальных конкретных задач и описываемый совокупностью параметров. Каждой конкретной задаче отвечает свой набор параметров. Относительно каждой задачи ставится вопрос, ответ на который имеет вид «ДА» или «НЕТ». Например, нас интересует, обладают ли частично рекурсивные функции свойством X.

Полагается, что решение задачи сводится к вычислению на машине Тьюринга-Поста некоторой функции.

Предполагаем, что с классом связана система кодирования α, которая каждой задаче Z ставит в соответствие слово α(Z) в некотором алфавите. Размер задачи Z - это длина слова | α(Z)|. Пусть машина Тьюринга τ решает задачи класса П и

— соответствующая временная сложность (по худшему случаю).

Говорят, что машина Тьюринга τ решает задачу П за полиномиальное время, если

для некоторого полинома р(п). В противном случае говорят, что задача решается за

экспоненциальное время.

Класс задач П называется полиномиально разрешимым, если существует машина Тьюринга τ, решающая задачи за полиномиальное время.

Совокупность (классов) задач, разрешимых за полиномиальное время, называем

классом задач Р.

Класс задач NР

Массовая задача П принадлежит классу NР, если в случае ответа «ДА» для задачи существует слово с(Z) длины O(p(|α(Z)|)) такое, что задача (Z, с(Z)) принадлежит

классу Р. Слово с(Z) называется удостоверением, или догадкой, задачи Z. Его наличие позволяет проверить принадлежность задачи Z классу Р.

К примеру, выполнимость формулы А(Х1,...,Хп) проверяется, если кроме самой формулы дан конкретный набор переменных - догадка, способствующая установлению выполнимости формулы А.

30. Понятие алгоритмической системы. Понятие вычислимости.

Понятие алгорифмической системы – это набор типов исходных и результирующих объектов, а также методов их исследования, их обработки, описываемых на понятном для устройства языках

Алгоритм с т.з алгорифмической системы – это система вычисления, которая для некоторого класса задач А при помощи одинаковой определѐнной операции совершаемых механизмами (без участия человека) получить запись В, т.е решение задач.

Алгоритм – это процедура, которая применяется к определѐнным входным данным.

Алгоритм разбит на шаги:

S*= Ω (S)

Преобразование происходит однозначно заданным способом, процесс преобразования происходит до тех пор пока произойдет без результативная остановка или у оператора возникнет неопределенное состояние, либо появится сигнал о полученном решении.

А0=А : А1= Ω(А0) : А2= Ω(А1):

Аn= Ω(Аn-1): В=Ак

Применение алгоритма к некоторым исходным данным:

Любой алгоритм над которым необходимо произвести действие может быть представлено натуральным числом. В результате применения алгоритма также должно получится натуральное число, либо не получится в случаи ошибки. Процесс обработки любой информации может быть назван, а для кого-то сведен к вычислению алгоритма и вычисления тесно связаны между собой.

Понятие вычисляемости.

вычисление≡преобразование

Выполнение алгоритма аналогично вычислению функции y=f(x) ,y=f(x1,x2,…xn)

f:Х→У

f-некоторое отношение, которое хĘХ ставим в соответствие уĘУ, всюду определенная функция у=к+1 частичная функция у=1/х.

Назовем m-местную ф-ю fвычислимой, если существует алгоритм еѐ вычисления А, такой что выполняется 2 условия:

1.При подаче на его вход вектора

х=<x1,x2,…xm>принадлежит общее определение функции Дf. Алгоритм, через конечное число шагов останавливается и выдает результат f(x).

2. Если вектор х не принадлежит Дf алгоритм иногда не останавливается.